逆序数的分治算法

给我们一个序列, 让我们求其逆序数:

如3 2 1 4

逆序数为: 2+1+0+0=3

我们这样定义一个序列的逆序数: 序列a1 a2 a3 a2 ...an

这个序列的逆序数C, 等于a1,a2...的逆序数的和.即 C=sum(Ci)

Ci为满足ai > aj (j > i)的数的总的个数, 即Ci = sum(ai > aj) (j
>i).

我们一般写的算法一般会做N(N-1)/2次比较, 时间复杂度为: O(N^2).

下面采用的分而治之的思想来改进:

假设我们将序列a1 a2 a3 a2 ...an分成两份: B0=(a1 a2 an/2) B1 = (a
(n/2+1)...an)

那么C=C(B0)+C(B1)+M(B0B1)

如果我们直接去计算M(B0B1), f(n) = 2*f(n/2)+c*n^2, 计算出来的结果是f(n)=n*f(1) +
2c*n^2 - 2c*n, 那么效率依然是O(N^2), 我们通过什么方式改进呢?

那假如让B0,B1有序就好了! 嗯,对的. 我们在归并排序的过程先将B0,B1排成有序数列,再来求B0′B1′的逆序数,
这时求M(B0′B1′)效率就是O(N).

即,C=C(B0′) + C(B1′) + M(B0′B1′).

下面给出求C(B0′B1′)的代码, 你在下面的完整的求逆序数的算法中也可以找到:

int i = x, j = m; //序列B0[x,y], B1[m, n]

for(i = x; i <= y; ++i)

{

while(j <= n && arr[i] > arr[j])

++j;

nOrder += j-m;

}

这时f(n) = 2*f(n/2)+c*n, 我计算出来的结果是f(n) = n*f(1) + c*n*log(n)

时间复杂度O(N*logN)和空间复杂度O(N)都和归并算法一致, 只比比归并算法大了一个常数因子.

欢迎抛砖.

#include

#include

using namespace std;

void swap(int *arr, int i, int j)

{

int tmp = arr[i];

arr[i] = arr[j];

arr[j] = tmp;

}

int merge(int* temp, int *arr, int x, int y, int m, int n)

{

int nOrder = 0;

int i = x, j = m;

for(i = x; i <= y; ++i)

{

while(j <= n && arr[i] > arr[j])

++j;

nOrder += j-m;

}

int k = 0;

i = x, j = m;

while(i <= y && j <= n)

{

if(arr[i] <= arr[j])

temp[k++] = arr[i++];

else

temp[k++] = arr[j++];

}

while(i <= y)

temp[k++] = arr[i++];

while(j <= n)

temp[k++] = arr[j++];

return nOrder;

}

int inversion_number(int *arr, int i, int j)

{

if(i < j)

{

int mid = i+((j-i)>>1);

int v1 = inversion_number(arr, i, mid);

int v2 = inversion_number(arr, mid+1, j);

int temp[10];

int nValue = merge(temp, arr, i, mid, mid+1, j);

memcpy(arr+i, temp, sizeof(int)*(j-i+1));

return v1+v2+nValue;

}

else

return 0;

}

int main()

{

int arr[] = {5,3,3,3,3,3,3,3,3,3};

cout << inversion_number(arr, 0, 9) << endl;

return 0;

}