《啊哈算法》第七章 神奇的树

参考：《啊哈算法》

树

树其实就是不包含回路的连通无向图

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连通是说其其中任意两点之间是可达的

不包含回路就是说一定能够不会出现走一圈的情况

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树的特性

一棵树中的任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通

一棵树如果有n个结点，那么它一定恰好有n-1条边

在一棵树中加一条边将会构成回路

为了确定一棵树的形态，在树中可以指定一个特殊的结点—–根

如果一个结点没有子结点，这个结点就称为叶结点。

没有父结点的结点称为根结点。

如果一个结点既不是根结点也不是叶结点，则称为内部结点。

每个结点还有深度，深度是指从根结点到这个结点的层数（根为第一层）

二叉树

严格递归定义：二叉树要么为空，要么由根结点、左子树和右子树组成，而左子树和右子树分别是一棵二叉树

二叉树中还有两种特殊的二叉树：

满二叉树

所有的叶结点都有相同的深度

完全二叉树

如果一棵二叉树除了最右边位置上有一个或者几个叶结点缺少外，其他事丰满的二叉树，就是满二叉树。

（完全二叉树的典型应用就是堆）

堆—神奇的优先队列

所有的父结点都比子结点要小的完全二叉树称为最小堆（小顶堆）

所有的父结点都比子结点要大的完全二叉树称为最大堆（大顶堆）

完全二叉树一个性质：最后一个非叶结点是第n/2个结点

建堆及堆排序的展示（小顶堆）

算法分析：先输入数据存在数组中建立一棵完全二叉树，然后从最后一个非叶结点一次向前进行调整。调整结束后就满足小顶堆，根结点就是最小值，此时记录下根结点，并将其从堆中删除，将最后一个结点送到根结点的位置，此时不满足小顶堆，我们就向下调整使其再次满足。重复步骤至完全二叉树为空

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
//向下调整
int h[102];
int n;
void siftdown(int i) {
int t,flag;
while(i*2<=n&&flag==0) {
if(h[i]>h[i*2]) {//先于左结点比
t=i*2;
} else {
t=i;
}
if(i*2+1<=n) {//是否有右结点
if(h[t]>h[i*2+1]) {
t=i*2+1;
}
}
if(t!=i) {
swap(h[i],h[t]);//交换
i=t;
} else {
flag=1;//满足顶堆条件的信号传出
}
}
}

//建堆
void create() {
//从最后一个非叶结点到第一个结点依次进行向下调整
for(int i=n/2; i>=1; i--) {
siftdown(i);
}
}
//删除最大元素
int deletemax() {
int t;
t=h[1];//用临时变量记录堆顶点的值
h[1]=h
;//将堆的最后一个顶点赋值到堆顶
n--;//堆元素少一
siftdown(1);//向下调整
return t;//返回记录的堆的顶点的最小值
}
int main() {
int num;
scanf("%d",&num);
for(int i=1; i<=num; i++) {
scanf("%d",&h[i]);
}
n=num;
create();
for(int i=1; i<=num; i++) {
printf("%d ",deletemax());
}
return 0;
}

测试样例

14
99 5 36 7 22 17 46 12 2 19 25 28 1 92

当然还可以通过建立大顶堆的方式进行堆排序。

虽然这里的堆排序看上去很是费时，但是要是使用在添加一个数，或者添加一个数同时删除一个数的情况时就比较的高效了。比如我们删除一组数的最小值，并新增一个数，同时求新数组的最小值时。直接将新增的数放到小顶堆的堆顶（本身这里之前是最小的数），然后调整到符合小顶堆时的堆顶就是新的最小值。

另外要是我们新增一个数，但是不进行任何删除操作，只是最快求出新的最小值时，只需要将新增的数添加到最后。然后一路向上调整至符合要求，新的堆顶就是新的最小值。

堆还经常被用作求一个数列中第k大的数，只需要建立一个大小为k的小顶堆，堆顶就是第k大的数