概率空间与概率分布

σ-代数

设

为非空集合，

中的元素是

的子集合，满足以下条件的集合系

称为

上的一个σ代数：


在

中；

如果一个集合

在

中，那么它的差集

也在

中；

如果有可数个集合

都在

中，那么它们的联集也在

中。

用数学语言来表示，就是







不借助逻辑符号的话，也可以使用如下更简洁的定义：设

为非空集合。则

上的一个σ代数是指其幂集的子集合

对有限个差集、交集跟可数个并集这三种运算都依然属于

，也就是说

对这三运算是封闭（closed）的
。

在测度论里

称为一个可测空间。
集合族

中的元素，也就是

的某子集，称为可测集合。而在概率论中，这些集合被称为随机事件。

例子

有两个σ-代数的简单例子，它们分别是：


上含集合最少的σ代数

；和


上含集合最多的σ代数是

的幂集

。

假设集合

，那么

是集合

上的一个σ代数。这也是所有包含

的σ代数中最“小”的一个。

概率空间

概率空间(Ω, F, P)是一个总测度为1的测度空间（即P(Ω)=1）.
第一项Ω是一个非空集合，有时称作“样本空间”。Ω 的集合元素称作“样本输出”，可写作ω。
第二项F是样本空间Ω的幂集的一个非空子集。F的集合元素称为事件Σ。事件Σ是样本空间Ω的子集。集合F必须是一个σ-代数：


；
若

，则

；
若

，

，则


(Ω, F)合起来称为可测空间。事件就是样本输出的集合，在此集合上可定义其概率。
第三项P称为概率，或者概率测度。这是一个从集合F到实数域R的函数，

。每个事件都被此函数赋予一个0和1之间的概率值。
概率测度经常以黑体表示，例如

或

，也可用符号"Pr"来表示。

分布函数的性质

对于特定的随机变量

，其分布函数

是单调不减及右连续，而且

，

。这些性质反过来也描述了所有可能成为分布函数的函数：设

且单调不减、右连续，则存在概率空间

及其上的随机变量 X ，使得 F 是 X 的分布函数，即

设

为概率测度，

为随机变量则函数


(

)
称为

的概率分布函数.如果将

看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数

在

处的函数值就表示

落在区间

上的概率。

二项分布

在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n =
1时，二项分布就是伯努利分布。二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

概率质量函数

一般地，如果随机变量

服从参数为

和

的二项分布，我们记

或

.n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出：



对于k = 0, 1, 2, ..., n，其中


是二项式系数（这就是二项分布的名称的由来），又记为C(n, k)，nCk，或nCk。该公式可以用以下方法理解：我们希望有k次成功(pk)和n − k次失败(1 − p)n − k。然而，k次成功可以在n次试验的任何地方出现，而把k次成功分布在n次试验中共有C(n, k)个不同的方法。

在制造二项分布概率的参考表格时，通常表格中只填上n/2个值。这是因为k > n/2时的概率可以从它的补集计算出：



因此，我们要看另外一个k和另外一个p（二项分布一般不是对称的）。然而，它的表现不是任意的。总存在一个整数M，满足



作为k的函数，表达式ƒ(k; n, p)当k < M时单调递增，k > M时单调递减，只有当(n + 1)p是整数时例外。在这时，有两个值使ƒ达到最大：(n + 1)p和(n + 1)p − 1。M是伯努利试验的最可能的结果，称为众数。注意它发生的概率可以很小。

累积分布函数

累积分布函数可以表示为：



其中

是小于或等于x的最大整数。

它也可以用正则化不完全贝塔函数来表示：

期望和方差

如果X ~ B(n, p)（也就是说，X是服从二项分布的随机变量），那么X的期望值为



方差为



这个事实很容易证明。首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果：1和0，前者发生的概率为p，后者的概率为1 − p。该试验的期望值等于μ = 1 · p + 0 · (1−p) = p。该试验的方差也可以类似地计算：σ2 =
(1−p)2·p + (0−p)2·(1−p) = p(1 − p).

一般的二项分布是n次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和：

正态分布又叫高斯分布

正态分布的定义

有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是概率密度函数，这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。累积分布函数是一种概率上更加清楚的方法，请看下边的例子。还有一些其他的等价方法，例如cumulant、特征函数、动差生成函数以及cumulant-生成函数。这些方法中有一些对于理论工作非常有用，但是不够直观。请参考关于概率分布的讨论。

概率密度函数

四个不同参数集的概率密度函数（绿色线代表标准正态分布）

正态分布的概率密度函数均值为

方差为

(或标准差

)是高斯函数的一个实例：


。

(请看指数函数以及

.)

如果一个随机变量

服从这个分布，我们写作

~

.
如果

并且

，这个分布被称为标准正态分布，这个分布能够简化为


。

右边是给出了不同参数的正态分布的函数图。

正态分布中一些值得注意的量：

密度函数关于平均值对称
平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
95.449974%的面积在平均数左右两个标准差

的范围内。
99.730020%的面积在平均数左右三个标准差

的范围内。
99.993666%的面积在平均数左右四个标准差

的范围内。
函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。

累积分布函数

上图所示的概率密度函数的累积分布函数

累积分布函数是指随机变数

小于或等于

的概率，用概率密度函数表示为



正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示：



标准正态分布的累积分布函数习惯上记为

，它仅仅是指

，

时的值，



将一般正态分布用误差函数表示的公式简化，可得：



它的反函数被称为反误差函数，为：



该分位数函数有时也被称为probit函数。probit函数已被证明没有初等原函数。

正态分布的分布函数

没有解析表达式，它的值可以通过数值积分、泰勒级数或者渐进序列近似得到。

泊松分布

泊松分布

横轴是索引k，发生次数。该函数只定义在k为整数的时候。连接线是只为了指导视觉。 概率质量函数
横轴是索引k，发生次数。CDF在整数k处不连续，且在其他任何地方都是水平的，因为服从泊松分布的变量只针对整数值。 累积分布函数
参数	λ > 0（实数）
支撑集	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
概率质量函数
累积分布函数	，或 ，或 (对于 ，其中 是不完全Γ函数， 是高斯函数，Q是规则化Γ函数)
期望值
中位数
众数
方差
偏度
峰度
信息熵	(for large )
动差生成函数
特性函数

Poisson分布，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等，又称泊松小数法则（Poisson
law of small numbers），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis
Poisson）在1838年时发表。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。
泊松分布的概率质量函数为：



泊松分布的参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。

若

服从参数为

的泊松分布，记为

，或记为

.

性质

1、服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数λ：E(X)=V(X)=λ
2、两个独立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精确地说，若X ~ Poisson(λ1)且Y ~ Poisson(λ2)，则X+Y ~Poisson(λ1+λ2)。
3、其矩母函数为：

泊松分布的来源（泊松小数定律）

在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积λ= np比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物。
证明如下。首先，回顾e的定义：



二项分布的定义：


。
如果令

,

趋于无穷时

的极限：

最大似然估计

给定n个样本值ki，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数λ的估计。为计算最大似然估计值，列出对数似然函数：



对函数L取相对于λ的导数并令其等于零：



解得λ从而得到一个驻点（stationary point）：



检查函数L的二阶导数，发现对所有的λ与ki大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数L的极大值点：

例子

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到

的估计为200/231=0.8658。

生成泊松分布的随机变量一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由高德纳给出（见下文参考）：

algorithm poisson random number (Knuth):
init:
Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
do:
k ← k + 1.
Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u.
while p > L.
return k − 1.

尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值k，平均是λ。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的λ值，e-λ可能导致数值稳定性问题。对于较大λ值的一种解决方案是拒绝采样，另一种是采用泊松分布的高斯近似。
对于很小的λ值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过u的样本，才需要检查累积概率。

algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search:[1]
init:
Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p.
Generate uniform random number u in [0,1].
do:
x ← x + 1.
p ← p * λ / x.
s ← s + p.
while u > s.
return x.