算法07 之哈希表
2016-05-13 17:27
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哈希表也称为散列表，是根据关键字值（key value）而直接进行访问的数据结构。也就是说，它通过把关键字值映射到一个位置来访问记录，以加快查找的速度。这个映射函数称为哈希函数（也称为散列函数），映射过程称为哈希化，存放记录的数组叫做散列表。比如我们可以用下面的方法将关键字映射成数组的下标：arrayIndex = hugeNumber % arraySize。
哈希化之后难免会产生一个问题，那就是对不同的关键字，可能得到同一个散列地址，即同一个数组下标，这种现象称为冲突，那么我们该如何去处理冲突呢？一种方法是开放地址法，即通过系统的方法找到数组的另一个空位，把数据填入，而不再用哈希函数得到的数组下标，因为该位置已经有数据了；另一种方法是创建一个存放链表的数组，数组内不直接存储数据，这样当发生冲突时，新的数据项直接接到这个数组下标所指的链表中，这种方法叫做链地址法。下面针对这两种方法进行讨论。
所谓线性探测，即线性地查找空白单元。如果21是要插入数据的位置，但是它已经被占用了，那么就是用22，然后23，以此类推。数组下标一直递增，直到找到空白位。下面是基于线性探测法的哈希表实现代码：
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public class HashTable {
private DataItem[] hashArray; //DateItem类是数据项，封装数据信息
private int arraySize;
private int itemNum; //数组中目前存储了多少项
private DataItem nonItem; //用于删除项的
public HashTable() {
arraySize = 13;
hashArray = new DataItem[arraySize];
nonItem = new DataItem(-1); //deleted item key is -1
}
public boolean isFull() {
return (itemNum == arraySize);
}
public boolean isEmpty() {
return (itemNum == 0);
}
public void displayTable() {
System.out.print("Table:");
for(int j = 0; j < arraySize; j++) {
if(hashArray[j] != null) {
System.out.print(hashArray[j].getKey() + " ");
}
else {
System.out.print("** ");
}
}
System.out.println("");
}
public int hashFunction(int key) {
return key % arraySize; //hash function
}
public void insert(DataItem item) {
if(isFull()) {
//扩展哈希表
System.out.println("哈希表已满，重新哈希化..");
extendHashTable();
}
int key = item.getKey();
int hashVal = hashFunction(key);
while(hashArray[hashVal] != null && hashArray[hashVal].getKey() != -1) {
++hashVal;
hashVal %= arraySize;
}
hashArray[hashVal] = item;
itemNum++;
}
/*
* 数组有固定的大小，而且不能扩展，所以扩展哈希表只能另外创建一个更大的数组，然后把旧数组中的数据插到新的数组中。但是哈希表是根据数组大小计算给定数据的位置的，所以这些数据项不能再放在新数组中和老数组相同的位置上，因此不能直接拷贝，需要按顺序遍历老数组，并使用insert方法向新数组中插入每个数据项。这叫重新哈希化。这是一个耗时的过程，但如果数组要进行扩展，这个过程是必须的。
*/
public void extendHashTable() { //扩展哈希表
int num = arraySize;
itemNum = 0; //重新记数，因为下面要把原来的数据转移到新的扩张的数组中
arraySize *= 2; //数组大小翻倍
DataItem[] oldHashArray = hashArray;
hashArray = new DataItem[arraySize];
for(int i = 0; i < num; i++) {
insert(oldHashArray[i]);
}
}
public DataItem delete(int key) {
if(isEmpty()) {
System.out.println("Hash table is empty!");
return null;
}
int hashVal = hashFunction(key);
while(hashArray[hashVal] != null) {
if(hashArray[hashVal].getKey() == key) {
DataItem temp = hashArray[hashVal];
hashArray[hashVal] = nonItem; //nonItem表示空Item,其key为-1
itemNum--;
return temp;
}
++hashVal;
hashVal %= arraySize;
}
return null;
}
public DataItem find(int key) {
int hashVal = hashFunction(key);
while(hashArray[hashVal] != null) {
if(hashArray[hashVal].getKey() == key) {
return hashArray[hashVal];
}
++hashVal;
hashVal %= arraySize;
}
return null;
}
}
class DataItem {
private int iData;
public DataItem (int data) {
iData = data;
}
public int getKey() {
return iData;
}
}
线性探测有个弊端，即数据可能会发生聚集。一旦聚集形成，它会变得越来越大，那些哈希化后落在聚集范围内的数据项，都要一步步的移动，并且插在聚集的最后，因此使聚集变得更大。聚集越大，它增长的也越快。这就导致了哈希表的某个部分包含大量的聚集，而另一部分很稀疏。
为了解决这个问题，我们可以使用二次探测：二次探测是防止聚集产生的一种方式，思想是探测相隔较远的单元，而不是和原始位置相邻的单元。线性探测中，如果哈希函数计算的原始下标是x, 线性探测就是x+1, x+2, x+3, 以此类推；而在二次探测中，探测的过程是x+1, x+4, x+9, x+16，以此类推，到原始位置的距离是步数的平方。二次探测虽然消除了原始的聚集问题，但是产生了另一种更细的聚集问题，叫二次聚集：比如讲184，302，420和544依次插入表中，它们的映射都是7，那么302需要以1为步长探测，420需要以4为步长探测，
544需要以9为步长探测。只要有一项其关键字映射到7，就需要更长步长的探测，这个现象叫做二次聚集。二次聚集不是一个严重的问题，但是二次探测不会经常使用，因为还有好的解决方法，比如再哈希法。
为了消除原始聚集和二次聚集，现在需要的一种方法是产生一种依赖关键字的探测序列，而不是每个关键字都一样。即：不同的关键字即使映射到相同的数组下标，也可以使用不同的探测序列。再哈希法就是把关键字用不同的哈希函数再做一遍哈希化，用这个结果作为步长，对于指定的关键字，步长在整个探测中是不变的，不同关键字使用不同的步长、经验说明，第二个哈希函数必须具备如下特点：
1. 和第一个哈希函数不同；
2. 不能输出0（否则没有步长，每次探索都是原地踏步，算法将进入死循环）。
专家们已经发现下面形式的哈希函数工作的非常好：stepSize = constant - key % constant; 其中constant是质数，且小于数组容量。
再哈希法要求表的容量是一个质数，假如表长度为15(0-14)，非质数，有一个特定关键字映射到0，步长为5，则探测序列是0,5,10,0,5,10,以此类推一直循环下去。算法只尝试这三个单元，所以不可能找到某些空白单元，最终算法导致崩溃。如果数组容量为13, 质数，探测序列最终会访问所有单元。即0,5,10,2,7,12,4,9,1,6,11,3,一直下去，只要表中有一个空位，就可以探测到它。下面看看再哈希法的代码：
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public class HashDouble {
private DataItem[] hashArray;
private int arraySize;
private int itemNum;
private DataItem nonItem;
public HashDouble() {
arraySize = 13;
hashArray = new DataItem[arraySize];
nonItem = new DataItem(-1);
}
public void displayTable() {
System.out.print("Table:");
for(int i = 0; i < arraySize; i++) {
if(hashArray[i] != null) {
System.out.print(hashArray[i].getKey() + " ");
}
else {
System.out.print("** ");
}
}
System.out.println("");
}
public int hashFunction1(int key) { //first hash function
return key % arraySize;
}
public int hashFunction2(int key) { //second hash function
return 5 - key % 5;
}
public boolean isFull() {
return (itemNum == arraySize);
}
public boolean isEmpty() {
return (itemNum == 0);
}
public void insert(DataItem item) {
if(isFull()) {
System.out.println("哈希表已满，重新哈希化..");
extendHashTable();
}
int key = item.getKey();
int hashVal = hashFunction1(key);
int stepSize = hashFunction2(key); //用hashFunction2计算探测步数
while(hashArray[hashVal] != null && hashArray[hashVal].getKey() != -1) {
hashVal += stepSize;
hashVal %= arraySize; //以指定的步数向后探测
}
hashArray[hashVal] = item;
itemNum++;
}
public void extendHashTable() {
int num = arraySize;
itemNum = 0; //重新记数，因为下面要把原来的数据转移到新的扩张的数组中
arraySize *= 2; //数组大小翻倍
DataItem[] oldHashArray = hashArray;
hashArray = new DataItem[arraySize];
for(int i = 0; i < num; i++) {
insert(oldHashArray[i]);
}
}
public DataItem delete(int key) {
if(isEmpty()) {
System.out.println("Hash table is empty!");
return null;
}
int hashVal = hashFunction1(key);
int stepSize = hashFunction2(key);
while(hashArray[hashVal] != null) {
if(hashArray[hashVal].getKey() == key) {
DataItem temp = hashArray[hashVal];
hashArray[hashVal] = nonItem;
itemNum--;
return temp;
}
hashVal += stepSize;
hashVal %= arraySize;
}
return null;
}
public DataItem find(int key) {
int hashVal = hashFunction1(key);
int stepSize = hashFunction2(key);
while(hashArray[hashVal] != null) {
if(hashArray[hashVal].getKey() == key) {
return hashArray[hashVal];
}
hashVal += stepSize;
hashVal %= arraySize;
}
return null;
}
}
在开放地址法中，通过再哈希法寻找一个空位解决冲突问题，另一个方法是在哈希表每个单元中设置链表（即链地址法），某个数据项的关键字值还是像通常一样映射到哈希表的单元，而数据项本身插入到这个单元的链表中。其他同样映射到这个位置的数据项只需要加到链表中，不需要在原始的数组中寻找空位。下面看看链地址法的代码：
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public class HashChain {
private SortedList[] hashArray; //数组中存放链表
private int arraySize;
public HashChain(int size) {
arraySize = size;
hashArray = new SortedList[arraySize];
//new出每个空链表初始化数组
for(int i = 0; i < arraySize; i++) {
hashArray[i] = new SortedList();
}
}
public void displayTable() {
for(int i = 0; i < arraySize; i++) {
System.out.print(i + ": ");
hashArray[i].displayList();
}
}
public int hashFunction(int key) {
return key % arraySize;
}
public void insert(LinkNode node) {
int key = node.getKey();
int hashVal = hashFunction(key);
hashArray[hashVal].insert(node); //直接往链表中添加即可
}
public LinkNode delete(int key) {
int hashVal = hashFunction(key);
LinkNode temp = find(key);
hashArray[hashVal].delete(key);//从链表中找到要删除的数据项，直接删除
return temp;
}
public LinkNode find(int key) {
int hashVal = hashFunction(key);
LinkNode node = hashArray[hashVal].find(key);
return node;
}
}
下面是链表类的代码，用的是有序链表：
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public class SortedList {
private LinkNode first;
public SortedList() {
first = null;
}
public boolean isEmpty() {
return (first == null);
}
public void insert(LinkNode node) {
int key = node.getKey();
LinkNode previous = null;
LinkNode current = first;
while(current != null && current.getKey() < key) {
previous = current;
current = current.next;
}
if(previous == null) {
first = node;
}
else {
node.next = current;
previous.next = node;
}
}
public void delete(int key) {
LinkNode previous = null;
LinkNode current = first;
if(isEmpty()) {
System.out.println("chain is empty!");
return;
}
while(current != null && current.getKey() != key) {
previous = current;
current = current.next;
}
if(previous == null) {
first = first.next;
}
else {
previous.next = current.next;
}
}
public LinkNode find(int key) {
LinkNode current = first;
while(current != null && current.getKey() <= key) {
if(current.getKey() == key) {
return current;
}
current = current.next;
}
return null;
}
public void displayList() {
System.out.print("List(First->Last):");
LinkNode current = first;
while(current != null) {
current.displayLink();
current = current.next;
}
System.out.println("");
}
}
class LinkNode {
private int iData;
public LinkNode next;
public LinkNode(int data) {
iData = data;
}
public int getKey() {
return iData;
}
public void displayLink() {
System.out.print(iData + " ");
}
}
在没有冲突的情况下，哈希表中执行插入和删除操作可以达到O(1)的时间级，这是相当快的，如果发生冲突了，存取时间就依赖后来的长度，查找或删除时也得挨个判断，但是最差也就O(N)级别。
哈希化之后难免会产生一个问题，那就是对不同的关键字，可能得到同一个散列地址，即同一个数组下标，这种现象称为冲突，那么我们该如何去处理冲突呢？一种方法是开放地址法，即通过系统的方法找到数组的另一个空位，把数据填入，而不再用哈希函数得到的数组下标，因为该位置已经有数据了；另一种方法是创建一个存放链表的数组，数组内不直接存储数据，这样当发生冲突时，新的数据项直接接到这个数组下标所指的链表中，这种方法叫做链地址法。下面针对这两种方法进行讨论。
1.开放地址法
线性探测法
所谓线性探测，即线性地查找空白单元。如果21是要插入数据的位置，但是它已经被占用了，那么就是用22，然后23，以此类推。数组下标一直递增，直到找到空白位。下面是基于线性探测法的哈希表实现代码：[java] view
plain copy
public class HashTable {
private DataItem[] hashArray; //DateItem类是数据项，封装数据信息
private int arraySize;
private int itemNum; //数组中目前存储了多少项
private DataItem nonItem; //用于删除项的
public HashTable() {
arraySize = 13;
hashArray = new DataItem[arraySize];
nonItem = new DataItem(-1); //deleted item key is -1
}
public boolean isFull() {
return (itemNum == arraySize);
}
public boolean isEmpty() {
return (itemNum == 0);
}
public void displayTable() {
System.out.print("Table:");
for(int j = 0; j < arraySize; j++) {
if(hashArray[j] != null) {
System.out.print(hashArray[j].getKey() + " ");
}
else {
System.out.print("** ");
}
}
System.out.println("");
}
public int hashFunction(int key) {
return key % arraySize; //hash function
}
public void insert(DataItem item) {
if(isFull()) {
//扩展哈希表
System.out.println("哈希表已满，重新哈希化..");
extendHashTable();
}
int key = item.getKey();
int hashVal = hashFunction(key);
while(hashArray[hashVal] != null && hashArray[hashVal].getKey() != -1) {
++hashVal;
hashVal %= arraySize;
}
hashArray[hashVal] = item;
itemNum++;
}
/*
* 数组有固定的大小，而且不能扩展，所以扩展哈希表只能另外创建一个更大的数组，然后把旧数组中的数据插到新的数组中。但是哈希表是根据数组大小计算给定数据的位置的，所以这些数据项不能再放在新数组中和老数组相同的位置上，因此不能直接拷贝，需要按顺序遍历老数组，并使用insert方法向新数组中插入每个数据项。这叫重新哈希化。这是一个耗时的过程，但如果数组要进行扩展，这个过程是必须的。
*/
public void extendHashTable() { //扩展哈希表
int num = arraySize;
itemNum = 0; //重新记数，因为下面要把原来的数据转移到新的扩张的数组中
arraySize *= 2; //数组大小翻倍
DataItem[] oldHashArray = hashArray;
hashArray = new DataItem[arraySize];
for(int i = 0; i < num; i++) {
insert(oldHashArray[i]);
}
}
public DataItem delete(int key) {
if(isEmpty()) {
System.out.println("Hash table is empty!");
return null;
}
int hashVal = hashFunction(key);
while(hashArray[hashVal] != null) {
if(hashArray[hashVal].getKey() == key) {
DataItem temp = hashArray[hashVal];
hashArray[hashVal] = nonItem; //nonItem表示空Item,其key为-1
itemNum--;
return temp;
}
++hashVal;
hashVal %= arraySize;
}
return null;
}
public DataItem find(int key) {
int hashVal = hashFunction(key);
while(hashArray[hashVal] != null) {
if(hashArray[hashVal].getKey() == key) {
return hashArray[hashVal];
}
++hashVal;
hashVal %= arraySize;
}
return null;
}
}
class DataItem {
private int iData;
public DataItem (int data) {
iData = data;
}
public int getKey() {
return iData;
}
}
线性探测有个弊端，即数据可能会发生聚集。一旦聚集形成，它会变得越来越大，那些哈希化后落在聚集范围内的数据项，都要一步步的移动，并且插在聚集的最后，因此使聚集变得更大。聚集越大，它增长的也越快。这就导致了哈希表的某个部分包含大量的聚集，而另一部分很稀疏。
为了解决这个问题，我们可以使用二次探测：二次探测是防止聚集产生的一种方式，思想是探测相隔较远的单元，而不是和原始位置相邻的单元。线性探测中，如果哈希函数计算的原始下标是x, 线性探测就是x+1, x+2, x+3, 以此类推；而在二次探测中，探测的过程是x+1, x+4, x+9, x+16，以此类推，到原始位置的距离是步数的平方。二次探测虽然消除了原始的聚集问题，但是产生了另一种更细的聚集问题，叫二次聚集：比如讲184，302，420和544依次插入表中，它们的映射都是7，那么302需要以1为步长探测，420需要以4为步长探测，
544需要以9为步长探测。只要有一项其关键字映射到7，就需要更长步长的探测，这个现象叫做二次聚集。二次聚集不是一个严重的问题，但是二次探测不会经常使用，因为还有好的解决方法，比如再哈希法。
再哈希法
为了消除原始聚集和二次聚集，现在需要的一种方法是产生一种依赖关键字的探测序列，而不是每个关键字都一样。即：不同的关键字即使映射到相同的数组下标，也可以使用不同的探测序列。再哈希法就是把关键字用不同的哈希函数再做一遍哈希化，用这个结果作为步长，对于指定的关键字，步长在整个探测中是不变的，不同关键字使用不同的步长、经验说明，第二个哈希函数必须具备如下特点：1. 和第一个哈希函数不同；
2. 不能输出0（否则没有步长，每次探索都是原地踏步，算法将进入死循环）。
专家们已经发现下面形式的哈希函数工作的非常好：stepSize = constant - key % constant; 其中constant是质数，且小于数组容量。
再哈希法要求表的容量是一个质数，假如表长度为15(0-14)，非质数，有一个特定关键字映射到0，步长为5，则探测序列是0,5,10,0,5,10,以此类推一直循环下去。算法只尝试这三个单元，所以不可能找到某些空白单元，最终算法导致崩溃。如果数组容量为13, 质数，探测序列最终会访问所有单元。即0,5,10,2,7,12,4,9,1,6,11,3,一直下去，只要表中有一个空位，就可以探测到它。下面看看再哈希法的代码：
[java] view
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public class HashDouble {
private DataItem[] hashArray;
private int arraySize;
private int itemNum;
private DataItem nonItem;
public HashDouble() {
arraySize = 13;
hashArray = new DataItem[arraySize];
nonItem = new DataItem(-1);
}
public void displayTable() {
System.out.print("Table:");
for(int i = 0; i < arraySize; i++) {
if(hashArray[i] != null) {
System.out.print(hashArray[i].getKey() + " ");
}
else {
System.out.print("** ");
}
}
System.out.println("");
}
public int hashFunction1(int key) { //first hash function
return key % arraySize;
}
public int hashFunction2(int key) { //second hash function
return 5 - key % 5;
}
public boolean isFull() {
return (itemNum == arraySize);
}
public boolean isEmpty() {
return (itemNum == 0);
}
public void insert(DataItem item) {
if(isFull()) {
System.out.println("哈希表已满，重新哈希化..");
extendHashTable();
}
int key = item.getKey();
int hashVal = hashFunction1(key);
int stepSize = hashFunction2(key); //用hashFunction2计算探测步数
while(hashArray[hashVal] != null && hashArray[hashVal].getKey() != -1) {
hashVal += stepSize;
hashVal %= arraySize; //以指定的步数向后探测
}
hashArray[hashVal] = item;
itemNum++;
}
public void extendHashTable() {
int num = arraySize;
itemNum = 0; //重新记数，因为下面要把原来的数据转移到新的扩张的数组中
arraySize *= 2; //数组大小翻倍
DataItem[] oldHashArray = hashArray;
hashArray = new DataItem[arraySize];
for(int i = 0; i < num; i++) {
insert(oldHashArray[i]);
}
}
public DataItem delete(int key) {
if(isEmpty()) {
System.out.println("Hash table is empty!");
return null;
}
int hashVal = hashFunction1(key);
int stepSize = hashFunction2(key);
while(hashArray[hashVal] != null) {
if(hashArray[hashVal].getKey() == key) {
DataItem temp = hashArray[hashVal];
hashArray[hashVal] = nonItem;
itemNum--;
return temp;
}
hashVal += stepSize;
hashVal %= arraySize;
}
return null;
}
public DataItem find(int key) {
int hashVal = hashFunction1(key);
int stepSize = hashFunction2(key);
while(hashArray[hashVal] != null) {
if(hashArray[hashVal].getKey() == key) {
return hashArray[hashVal];
}
hashVal += stepSize;
hashVal %= arraySize;
}
return null;
}
}
2.链地址法
在开放地址法中，通过再哈希法寻找一个空位解决冲突问题，另一个方法是在哈希表每个单元中设置链表（即链地址法），某个数据项的关键字值还是像通常一样映射到哈希表的单元，而数据项本身插入到这个单元的链表中。其他同样映射到这个位置的数据项只需要加到链表中，不需要在原始的数组中寻找空位。下面看看链地址法的代码：[java] view
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public class HashChain {
private SortedList[] hashArray; //数组中存放链表
private int arraySize;
public HashChain(int size) {
arraySize = size;
hashArray = new SortedList[arraySize];
//new出每个空链表初始化数组
for(int i = 0; i < arraySize; i++) {
hashArray[i] = new SortedList();
}
}
public void displayTable() {
for(int i = 0; i < arraySize; i++) {
System.out.print(i + ": ");
hashArray[i].displayList();
}
}
public int hashFunction(int key) {
return key % arraySize;
}
public void insert(LinkNode node) {
int key = node.getKey();
int hashVal = hashFunction(key);
hashArray[hashVal].insert(node); //直接往链表中添加即可
}
public LinkNode delete(int key) {
int hashVal = hashFunction(key);
LinkNode temp = find(key);
hashArray[hashVal].delete(key);//从链表中找到要删除的数据项，直接删除
return temp;
}
public LinkNode find(int key) {
int hashVal = hashFunction(key);
LinkNode node = hashArray[hashVal].find(key);
return node;
}
}
下面是链表类的代码，用的是有序链表：
[java] view
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public class SortedList {
private LinkNode first;
public SortedList() {
first = null;
}
public boolean isEmpty() {
return (first == null);
}
public void insert(LinkNode node) {
int key = node.getKey();
LinkNode previous = null;
LinkNode current = first;
while(current != null && current.getKey() < key) {
previous = current;
current = current.next;
}
if(previous == null) {
first = node;
}
else {
node.next = current;
previous.next = node;
}
}
public void delete(int key) {
LinkNode previous = null;
LinkNode current = first;
if(isEmpty()) {
System.out.println("chain is empty!");
return;
}
while(current != null && current.getKey() != key) {
previous = current;
current = current.next;
}
if(previous == null) {
first = first.next;
}
else {
previous.next = current.next;
}
}
public LinkNode find(int key) {
LinkNode current = first;
while(current != null && current.getKey() <= key) {
if(current.getKey() == key) {
return current;
}
current = current.next;
}
return null;
}
public void displayList() {
System.out.print("List(First->Last):");
LinkNode current = first;
while(current != null) {
current.displayLink();
current = current.next;
}
System.out.println("");
}
}
class LinkNode {
private int iData;
public LinkNode next;
public LinkNode(int data) {
iData = data;
}
public int getKey() {
return iData;
}
public void displayLink() {
System.out.print(iData + " ");
}
}
在没有冲突的情况下，哈希表中执行插入和删除操作可以达到O(1)的时间级，这是相当快的，如果发生冲突了，存取时间就依赖后来的长度，查找或删除时也得挨个判断，但是最差也就O(N)级别。
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