算法基础 - 多源点最短路径(Floyd算法)

Floyd算法

Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

思路

路径矩阵

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵

A=[a(i,j)] n×n

开始，递归地进行

n

次更新，即由矩阵

D(0)=A

，按一个公式，构造出矩阵

D(1)

；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

引用自：百度百科

采用松弛技术（松弛操作），对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为

O(n^3)

;

状态转移方程

其状态转移方程如下：

map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；

map[i,j]

表示i到j的最短距离，

K

是穷举

i,j

的断点，

map[n,n]

初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有

map[i,k]

这条路。

其实就是枚举第三个点，看是否能出现

1->3->2

的距离比

1->2

的短

复杂度

时间复杂度： O(N^3);

空间复杂度：O(N^2);

伪代码

For k:=1 to n
For i:=1 to n
For j:=1 to n
If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then
D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];

代码实现

//
//  main.cpp
//  HiHocoder
//
//  Created by Alps on 16/5/9.
//  Copyright © 2016年 chen. All rights reserved.
//
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>

using namespace std;

long long dist[102][102]; //表示最大节点数是101个

long long minNum(long long a, long long b){
if(a == -1) return b;
return a < b ? a : b;
}

void floyd(long long dist[][102], int N){
for(int i = 1; i <= N; i++){
for(int j = 1; j <= N; j++){
for(int k = 1; k <= N; k++){
if(dist[j][i] == -1 || dist[i][k] == -1){
continue;//如果没路径别走
}
dist[j][k] = minNum(dist[j][k], dist[j][i]+dist[i][k]);
}
}
}
}

int main(){
int N,M;

while(cin>>N>>M){
for(int i = 0; i <= N; i++){
for(int j = 0; j <= N; j++){
dist[i][j] = -1; //初始化为-1 表示无穷远
if(i == j){
dist[i][j] = 0;
}
}
}
int x, y, d;
for(int i = 0; i < M; i++){
cin>>x>>y>>d;
dist[x][y] = minNum(dist[x][y], d);
dist[y][x] = dist[x][y];//无向图，如果是有向图去掉这个路径
}
floyd(dist, N);
for(int i = 1; i <= N; i++){ //输出整个矩阵
for(int j = 1; j<= N; j++){
cout<<dist[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
}

return 0;
}