Kruskal算法

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法（只与边相关）

算法描述：克鲁斯卡尔算法需要对图的边进行访问，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度只和边又关系，可以证明其时间复杂度为O（eloge）。

算法过程：

1.将图各边按照权值进行排序

2.将图遍历一次，

找出权值最小的边，（条件：此次找出的边不能和已加入最小生成树集合的边构成环），

若符合条件，则加入最小生成树的集合中。不符合条件则继续遍历图，寻找下一个最小权值的边。

3.递归重复步骤1，直到找出n-1条边为止（设图有n个结点，则最小生成树的边数应为n-1条），算法结束。得到的就是此图的最小生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法因为只与边相关，则适合求稀疏图的最小生成树。

而prime算法因为只与顶点有关，所以适合求稠密图的最小生成树。

[注]

  如何判断一个图是稀疏的还是稠密的

    最近涉及了一些图的算法，发现用途蛮广，比如：物流配送，中文分词，甚至课程排列都可以用图来表示和计算。无论哪种用途选择一个合适的图数据结构至关重要。

    图有两种主要的表示方法：邻接矩阵和邻接表。

    决定我们采用邻接矩阵还是采用邻接表来表示图，需要判断一个图是稀疏图还是稠密图。邻接矩阵和邻接表表示图所需的存贮空间和算法时间度相差非常大，所以判断一个图是稀疏的还是稠密的非常重要。

    判断标准如下：

    假设一个图G=(V,E)有n个节点，图G的每个节点的出度是一个固定的常数：k。由于E=kV=O(V) ，所以我们把符合E=O(V) 条件的图称为稀疏图。

    同理 ：

    如果一个图G=(V,E)有n个节点，假设图G的每个节点的出度是关于n的一个小数，并且0<f<=1，我们把符合E=fV2(平方)=V2(平方)条件的图称为稠密图。

    比如：一个图节点为16，节点的出度为4，那么f = 0.25。

 

    据说：邻接表是表示图的标准方法，原因是稠密图在实际应用中并不多见。

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<string>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define MAX 1000

int father[MAX], son[MAX];

int v, l;

typedef struct Kruskal //存储边的信息

{
int a;
int b;
int value;

};

bool cmp(const Kruskal & a, const Kruskal & b)

{
return a.value < b.value;

}

int unionsearch(int x) //查找根结点+路径压缩

{
return x == father[x] ? x : unionsearch(father[x]);

}

bool join(int x, int y) //合并

{
int root1, root2;
root1 = unionsearch(x);
root2 = unionsearch(y);
if(root1 == root2) //为环
return false;
else if(son[root1] >= son[root2])
{
father[root2] = root1;
son[root1] += son[root2];
}
else
{
father[root1] = root2;
son[root2] += son[root1];
}
return true;

}

int main()

{
int ncase, ltotal, sum, flag;
Kruskal edge[MAX];
scanf("%d", &ncase);
while(ncase--)
{
scanf("%d%d", &v, &l);
ltotal = 0, sum = 0, flag = 0;
for(int i = 1; i <= v; ++i) //初始化
{
father[i] = i;
son[i] = 1;
}
for(int i = 1; i <= l ; ++i)
{
scanf("%d%d%d", &edge[i].a, &edge[i].b, &edge[i].value);
}
sort(edge + 1, edge + 1 + l, cmp); //按权值由小到大排序
for(int i = 1; i <= l; ++i)
{
if(join(edge[i].a, edge[i].b))
{
ltotal++; //边数加1
sum += edge[i].value; //记录权值之和
cout<<edge[i].a<<"->"<<edge[i].b<<endl;
}
if(ltotal == v - 1) //最小生成树条件：边数=顶点数-1
{
flag = 1;
break;
}
}
if(flag) printf("%d\n", sum);
else printf("data error.\n");
}
return 0;

}