VIJOS1986 小h的妹子树二

题意简述

给定一棵有n个节点的树 n<=10^5

需要支持2种操作

Q u v 询问从u到v路径上所有点的权值和

C u v 改变u的权值为v

操作次数m<=2*10^5

分析

无脑树链剖分，然后直接用BIT维护就可以了

但是这题的操作比较简单，使用树链剖分太大才小用了..

树链剖分，顾名思义，将树上的链进行适当的剖分使得其能被数据结构高效的维护

我们如果将操作对链的修改或对链的影响进行适当的转化，那么就不需要进行树链剖分了

我们先对整棵树进行dfs，在进行dfs的时候，将每个点的点权保存到该点到其父亲的边上，将原来的对点修改问题转化为对边修改问题。

接下来考虑询问操作，如果询问的是点对(u,v)，我们可以将其拆成3个询问

假设树根编号为1，那么询问的答案就是sum(1,u)+sum(1,v)-2*sum(1,lca(u,v))+value[lca(u,v)]

lca(u,v)可以通过树上倍增找到

sum(1,x)表示从树根到节点x的所有边的权值和

能否利用dfs序来维护出sum(1,x)呢..?

答案是，可以。

在dfs遍历节点u时，u有一条连向儿子v的边，那么此时就将边u->v加入dfs序之中(标记该边的时间为time[v])，且边的权值为value[v]

当遍历完v的子树返回到u时，再往dfs序中添加一条从v返回u的边，权值为-valuev

那么从dfs序中前缀和[1,time[x]]就是sum(1,x)

（这是因为访问过的不在(1,x)路径上的边所带的权值均被它的一条反向边抵消）

修改的时候，只要将边time[x]和last[x]的权值均修改下即可了

用树状数组能高效维护上述的前缀查询和点修改操作

总时间复杂度O((n+m)log n)

代码

#include<cstdio>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
const int mn=100000+50,bi=18;
int n,m,v[mn],be[mn],bb[bi+1],x,y,et,tt,tn,de[mn],f[mn][bi+1],ti[mn],tl[mn],d[mn*2];//ti[x]表示访问father(x)->x的边编号 tl[x]表示x->father(x)编号
struct edge{
int y,ne;
};
edge e[mn*2];
char ch[10];
void insert(int x,int v){//树状数组  插入
while (x<tn){
d[x]+=v;
x+=x&(-x);
}
}
int ask(int x){//树状数组  询问
int ans=0;
while (x){
ans+=d[x];
x-=x&(-x);
}
return ans;
}
void add_edge(int x,int y){//添加边
e[++et].y=y;
e[et].ne=be[x];
be[x]=et;
}
void dfs(int x,int fa){
fo(i,1,bi)//倍增计算父亲
if (f[x][i-1]){
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
}
else
break;
int i=be[x];
while (i){
int &y=e[i].y;
if (y!=fa){
ti[y]=++tt;
insert(tt,v[y]);
f[y][0]=x;
de[y]=de[x]+1;
dfs(y,x);
tl[y]=++tt;
insert(tt,-v[y]);
}
i=e[i].ne;
}
}
int lca(int x,int y){//求lca
if (de[x]<de[y])
x^=y^=x^=y;
int dd=de[x]-de[y],ans=ask(ti[x])+ask(ti[y]);//
fo(i,0,bi)
if (dd&bb[i]){
x=f[x][i];
}
if (x==y)
return ans-ask(ti[x])*2+v[x];
for(int i=bi;i>=0;i--)
if ((f[x][i])&&(f[x][i]!=f[y][i])){
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
x=f[x][0];
return ans-ask(ti[x])*2+v[x];

}
int main(){
fo(i,0,bi)
bb[i]=1<<i;
scanf("%d",&n);
tn=n<<1;
fo(i,1,n){
scanf("%d",&v[i]);
}
fo(i,2,n){
scanf("%d%d",&x,&y);
add_edge(x,y);
add_edge(y,x);
}
ti[1]=++tt;
insert(ti[1],v[1]);
de[1]=1;
dfs(1,-1);
tl[1]=++tt;
scanf("%d",&m);
fo(i,1,m){
scanf("%s%d%d",ch,&x,&y);
if (ch[0]=='Q'){
printf("%d\n",lca(x,y));
}
if (ch[0]=='C'){
y-=v[x];
insert(ti[x],y);
insert(tl[x],-y);
v[x]+=y;
}
}
return 0;
}