数列基础

对于 k 阶常系数齐次线性递归数列

an+k=∑i=1kpian+k−i(pk≠0)a_{n+k} = \sum_{i=1}^k p_ia_{n+k-i} \; (p_k \neq 0)

所对应的一元 k 次方程

xk=∑i=1kpixk−ix^k = \sum_{i=1}^kp_ix^{k-i}

称为数列an{a_n}的特征方程，其根称为特征根

1） 若 λi\lambda_i 是特征方程的 k 个互不相等的根，则 an=∑ki=1ciλnia_n = \sum_{i=1}^kc_i\lambda_i^n

其中 c1,c2…ckc_1,c_2\dots c_k 由方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ1c1+λ2c2+⋯+λkck=a1λ21c1+λ22c2+⋯+λ2kck=a20000000000000⋮λk1c1+λk2c2+⋯+λkkck=ak
\begin{cases}
\lambda_1c_1 + \lambda_2c_2 + \cdots + \lambda_kc_k = a_1 \\
\lambda_1^2c_1 + \lambda_2^2c_2 + \cdots + \lambda_k^2c_k = a_2 \\
\phantom{0000000000000} \vdots \\
\lambda_1^kc_1 + \lambda_2^kc_2 + \cdots + \lambda_k^kc_k = a_k \\
\end{cases}

惟一确定

2）若 λi\lambda_i 是特征方程的 m 个互不相等的根，其重数是 kik_i，则an=∑mi=1pi(n)λnia_n = \sum_{i=1}^mp_i(n)\lambda_i^n

其中 pi(n)=∑kij=1Cijnj−1p_i(n) = \sum_{j=1}^{k_i}C_{ij}n^{j-1}

系数CijC_{ij}由下列方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪p1(1)λ1+p2(1)λ2+⋯+pm(1)λm=a1p1(2)λ21+p2(2)λ22+⋯+pm(2)λ2m=a20000000000000000000⋮p1(k)λk1+p2(k)λk2+⋯+pm(k)λkm=ak
\begin{cases}
p_1(1)\lambda_1 + p_2(1)\lambda_2 + \cdots + p_m(1)\lambda_m = a_1 \\
p_1(2)\lambda_1^2 + p_2(2)\lambda_2^2+ \cdots + p_m(2)\lambda_m^2 = a_2 \\
\phantom{0000000000000000000} \vdots \\
p_1(k)\lambda_1^k + p_2(k)\lambda_2^k + \cdots + p_m(k)\lambda_m^k = a_k
\end{cases}

惟一确定

k 阶常系数齐次线性递归数列是模周期数列

斐波那契数列的性质：

1）F2n−Fn−1Fn+1=(−1)n−1,F2n+1−FnFn+1−F2n=(−1)nF_n^2 - F_{n-1}F_{n+1} = (-1)^{n-1},F_{n+1}^2 - F_nF_{n+1} - F_n^2 = (-1) ^ n

2）(Fn,Fn+1)=1(F_n,F_{n+1}) = 1

3）Fm+n=FmFn+1+Fm−1FnF_{m+n} = F_mF_{n+1} + F_{m-1}F_n

4）(Fm,Fn)=F(m,n)(F_m,F_n) = F_{(m,n)}