EM算法

EM算法

　　用X表示观测随机变量，Z表示隐随机变量。X和Z连在一起称为完全数据(complete-data)，Y为不完全数据(incomplete-data)。给定训练样本X={x1,x2,⋯,xn},样例间独立，EM算法通过迭代求样本的极大似然估计L(θ)来估计模型参数：

L(θ)=∑i=1nlogp(xi|θ)=∑i=1nlog∑zp(xi,z|θ)

　　对于每一个样例xi，Qi表示该样例隐变量z的某种分布，Qi满足如下条件：

∑zQi(z)=1,Qi(z)≥0(1)

　　如果z是连续性的，那么Qi是概率密度函数，需要将求和符号换成积分符号。比如，要讲班上的学生聚类，假设隐藏变量z是身高，那么Q_i就是连续的高斯分布，如果隐藏变量是男女，那么就是伯努利分布。不同样例的隐藏变量可能属于不同的分布。

　　构造极大似然函数L(θ)的下界：

L(θ)=∑i=1nlog∑zp(xi,z|θ)(2)

=∑i=1nlog∑zQi(z)p(xi,z|θ)Qi(z)(3)

≥∑i=1n∑zQi(z)logp(xi,z|θ)Qi(z)(4)

式(3)，式(4)可以理解为：

f(Ez∼Qi[p(xi,z|θ)Qi(z)])≥Ez∼Qi[f(p(xi,z|θ)Qi(z))]

根据式(4)，L(θ)的下界和θ，p(xi,z|θ)，Qi(z)有关。

　　于是我们可以先固定θ，调整p(xi,z|θ)，Qi(z)的值来使下界不断提升，以逼近L(θ)的真实值。根据Jensen不等式，当随机变量p(xi,z|θ)Qi(z)为常数时，等式成立。即当

p(xi,z|θ)Qi(z)=c(5)

时，下界和L(θ)相等。

由式(5)，式(1)可知，

Qi(z)=p(xi,z|θ)∑zp(xi,z|θ)=p(xi,z|θ)p(xi|θ)=p(z|xi,θ)

　　所以，只要Qi(z)为后验概率，L(θ)的形式转换成(4)，由于(4)的log中没有求和，这样的式子求导比较原来直接求L(θ)的导容易。此外，在θ固定为θ∗时，只要Qi(z)为后验概率，L(θ∗)与下界值相等。由于L(θ∗)一直大于等于下界，所以变换θ的值，使下界变大，L(θ)也变大。

　　于是迭代过程为：第t次迭代的结果为θt，在接下来第t+1次迭代中，E步：当Qi(z)为p(z|xi,θt)时，下界最大，L(θ)近似为下界；M步：对θ求导，使L(θ)增大。

　　根据个人理解，EM算法适用于包含隐变量，即样本可能含有多个分布的情况，迭代求出不同分布模型的参数θ，参见混合高斯模型的应用。

　　本文参考自李航的统计学习分析以及JerryLead的博客，是本人的学习笔记，如有侵权，请告知，并感谢所有无私奉献的博主。