单因素下的方差分析

　　在方差分析中，有三个基本的假设：

　　(1) 正态假设。对于因素的每个水平，其观测值都是来自正态总体的随机样本；

　　(2) 方差齐次假设。各个总体的方差相同；

　　(3) 独立假设。观测值之间都是独立的。

　　设试验中的因素A，有r个水平A1,A2,...,An，在每个水平下进行试验得到结果xi1,xi2,...,xini，i=1,2,...,r，其被看作是来自第i个正态总体xi∼N(μi,σ2)，其中参数未知且每个样本都独立。从而单因素分析的数学模型可以表示为一种线性模型。

　 ⎧⎩⎨⎪⎪xij=μ+αi+Eij；i=1,2,...,r,j=1,2,..,niEij∼N(0,σ2)且相互独立∑ri=1niαi=0

　

　　其中，μ是所有总体的均值，αi=μi−μ称为第i个水平的效应，Eij是随机误差。

　　1.正态性检验

　　在R语言中，使用Shapiro.test(x)可以对数据x进行正态性检验，参数x是要检验的数据集，它是长度在3~5000之间的向量。

　　2.方差齐次性检验

　　该方法是要检验数据在不同水平下，其方差是否相等。在R语言中，使用Bartlett.test()来实现。

　　方差分析的目的是，要比较因素A的r个水平下，试验结果是否有显著差异。以样本均值作为检验的标准，写出检验假设：

　　　H0:α1=α2=...=αr,H1:α1,α2,...,αr不全相等

　　如果拒绝原假设H0，说明样本来自不同的正态总体，则由因素A的各个水平所造成均值的差异有统计意义；

　　如果不能拒绝原假设H0，说明样本来自相同的正态总体，因素的不同水平之间无差异。

　　案例1，某银行规定VIP客户的月均账户余额要达到100万元，并以此作为比较各个分行业绩的一项指标。这里的“分行”即为因子，账户余额是所要检验的指标，先从三个分行(对应三个水平A1、A2、A3)中，分别随机抽取7个VIP客户的账户，数据列在表(1)中。


表(1) 银行的三个分行A1、A2、A3

　　(a)正态性检验

　　//zheng.R　　

x1=c(103,101,98,110,105,100,106)
x2=c(113,107,108,116,114,110,115)
x3=c(82,92,84,86,84,90,88)
shapiro.test(x1)
shapiro.test(x2)
shapiro.test(x3)

　　效果如下：


图(1) 正态性检验的结果

　　由图(1)知，P(A1)=0.948 > 0.05，不能拒绝原假设，

　　　P(A2)=0.4607 > 0.05，不能拒绝原假设，

　　　P(A3)=0.7724 > 0.05，不能拒绝原假设，

　　而原假设H0是变量x服从正态分布，即A1、A2、A3都服从正态分布。

　　(b)方差齐次性检测

　　//qi.R　　

#方差齐性检验
x=c(x1,x2,x3)
account=data.frame(x,A=factor(rep(1:3,each=7)))
bartlett.test(x~A,data=account)

　　效果如下：


图(2) 方差齐次性检测

　　由于P=0.9341 > 0.05，不能拒绝原假设，而原假设H0是样本是“齐次的”，即三个样都是等方差的。

　　(c) 单因素分析

　　当数据符合正态性，和方差齐次之后，使用aov()就可以进行方差分析了。

　　//fen.R　　

a.aov=aov(x~A,data=account)
summary(a.aov)
plot(account$x~account$A)

　　如图(3)、图(4)所示：


图(3) 方差分析结果


图(4) 三个分行A1、A2、A3的箱线图

　　在图(3)中，A表示因子，Residuals表示残差，

　　　　Df 表示自由度

　　　　SumSq 表示平方和

　　　　Mean Sq 表示均方和

　　　　F value F 表示F检验统计量的值

　　　　Pr(>F) 表示概率。

　　由于P=8.446e-10 < 0.05，说明拒绝原假设，即不同分行A1、A2、A3的经济业绩有显著差别。

　　同样，在图(4)中，可以看到三个分行的Me(中位数，箱线图里最粗的黑线，就是中位数，记为Me)是明显不同的，其中分行A1的Me=85，分行A2的Me=103，分行A3的Me=114,，也就是分行A1、A2、A3的经济业绩有显著差别。