[算法学习]最长回文子串：Manacher算法

参考地址：http://www.cnblogs.com/bitzhuwei/p/Longest-Palindromic-Substring-Part-II.html#_label1

首先我们把字符串S改造一下变成T，改造方法是：在S的每个字符之间和S首尾都插入一个"#"。这样做的理由你很快就会知道。

例如，S="abaaba"，那么T="#a#b#a#a#b#a#"。

 

想一下，你必须在以Ti为中心左右扩展才能确定以Ti为中心的回文长度d到底是多少。（就是说这一步是无法避免的）

为了改进最坏的情况，我们把各个Ti处的回文半径存储到数组P，用P[i]表示以Ti为中心的回文长度。那么当我们求出所有的P[i]，取其中最大值就能找到最长回文子串了。

对于上文的示例，我们先直接写出所有的P研究一下。

i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C

T = # a # b # a # a # b # a #

P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0

显然最长子串就是以P[6]为中心的"abaaba"。

你是否发现了，在插入"#"后，长度为奇数和偶数的回文都可以优雅地处理了？这就是其用处。

现在，想象你在"abaaba"中心画一道竖线，你是否注意到数组P围绕此竖线是中心对称的？再试试"aba"的中心，P围绕此中心也是对称的。这当然不是巧合，而是在某个条件下的必然规律。我们将利用此规律减少对数组P中某些元素的重复计算。

 

我们来看一个重叠得更典型的例子，即S="babcbabcbaccba"。


 

上图展示了把S转换为T的样子。假设你已经算出了一部分P。竖实线表示回文"abcbabcba"的中心C，两个虚实线表示其左右边界L和R。你下一步要计算P[i]，i围绕C的对称点是i’。你有办法高效地计算P[i]吗？

 

我们先看一下i围绕C的对称点i’（此时i’=9）。


 

据上图所示，很明显P[i]=P[i’]=1。这是因为i和i’围绕C对称。同理，P[12]=P[10]=0，P[14]=P[8]=0。


 

现在再看i=15处。此时P[15]=P[7]=7？错了，你逐个字符检测一下会发现此时P[15]应该是5。

为什么此时规则变了？


 

如上图所示，两条绿色实线划定的范围必定是对称的，两条绿色虚线划定的范围必定也是对称的。此时请注意P[i’]=7，超过了左边界L。超出的部分就不对称了。此时我们只知道P[i]>=5，至于P[i]还能否扩展，只有通过逐个字符检测才能判定了。

在此例中，P[21]≠P[9]，所以P[i]=P[15]=5。

 

我们总结一下上述分析过程，就是这个算法的关键部分了。

if P[ i' ] < R – i, then P[ i ] ← P[ i' ] else P[ i ] ≥ R - i. (此时要穿过R逐个字符判定P[i]).

以上是原博客中的内容，下面是我自己写的代码，只是做了少量改动，用j来代替i’，
通过了leetcode第5题测试，用时15ms。

private static String preProcess(String str){
int len=str.length();
if(len==0){
return "^$";
}
StringBuilder s=new StringBuilder("^");
for(int i=0; i<str.length(); i++){
s.append("#").append(str.charAt(i));
}
s.append("#$");
return s.toString();
}

/*
* T为处理后的字符串，P[]为T中对应字符的最长字串长度
*/
public static String longestPalindrome(String s) {
String T=preProcess(s);
int len=T.length();
int[] P=new int[len];
int C=0, R=0;

for(int i=1; i<len-1; i++){
int j=C-(i-C);
int diff=R-i;

if(diff>=0&&diff>P[j]){
P[i]=P[j];
}else{
P[i]=diff>=0? diff:0;
while(T.charAt(i+P[i]+1)==T.charAt(i-P[i]-1)){
P[i]++;
}
C=i;
R=i+P[i];
}
}

int max=0;
C=0;
for(int i=1; i<len-1; i++){
if(P[i]>max){
max=P[i];
C=i;
}
}
int start=(C-max)/2;
return s.substring(start, start+max);
}