bzoj 1042: [HAOI2008]硬币购物（容斥原理）

1042: [HAOI2008]硬币购物

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Description

　　硬币购物一共有4种硬币。面值分别为c1,c2,c3,c4。某人去商店买东西，去了tot次。每次带di枚ci硬币，买s

i的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

Input

　　第一行 c1,c2,c3,c4,tot 下面tot行 d1,d2,d3,d4,s,其中di,s<=100000,tot<=1000

Output

　　每次的方法数

Sample Input

1 2 5 10 2

3 2 3 1 10

1000 2 2 2 900

Sample Output

4

27

HINT

Source

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题解：

转载自http://hzwer.com/5286.html

设F[i]为不考虑每种硬币的数量限制的情况下，得到面值i的方案数。则状态转移方程为

F[i]=Sum{F[i-C[k]] | i-C[k]>=0 且 k=1..4}

为避免方案重复，要以k为阶段递推，边界条件为F[0]=1，这样预处理的时间复杂度就是O(S)。

接下来对于每次询问，奇妙的解法如下：根据容斥原理，答案为 得到面值S的超过限制的方案数 – 第1种硬币超过限制的方案数 – 第2种硬币超过限制的方案数 – 第3种硬币超过限制的方案数 – 第4种硬币超过限制的方案数 + 第1,2种硬币同时超过限制的方案数 + 第1,3种硬币同时超过限制的方案数 + …… + 第1,2,3,4种硬币全部同时超过限制的方案数。

当第1种硬币超过限制时，只要要用到D[1]+1枚硬币，剩余的硬币可以任意分配，所以方案数为 F[ S – (D[1]+1)C[1] ]，当且仅当(S – (D[1]+1)C[1])>=0，否则方案数为0。其余情况类似，每次询问只用问16次，所以询问的时间复杂度为O(1)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 100003
#define LL long long
using namespace std;
int n,m;
LL c[10],d[10],f
,s,ans;
void dfs(int x,int y,LL sum)
{
if (sum<0) return;
if (x==5)
{
if (y&1) ans-=f[sum];
else  ans+=f[sum];
return;
}
dfs(x+1,y,sum);
dfs(x+1,y+1,sum-(d[x]+1)*c[x]);
}
int main()
{
for (int i=1;i<=4;i++)
scanf("%lld",&c[i]);
f[0]=1;
for (int j=1;j<=4;j++)
for (int i=c[j];i<=100000;i++)
f[i]+=f[i-c[j]];
scanf("%d",&m);
for (int l=1;l<=m;l++)
{
for (int i=1;i<=4;i++)
scanf("%lld",&d[i]);
scanf("%lld",&s);
ans=0;
dfs(1,0,s);
printf("%lld\n",ans);
}
}