换零钱的算法

换零钱的算法

问题来自SICP，描述如下

现在若干纸币，想要兑换成硬币。硬币面值有1, 5, 10, 25， 50分的硬币。什么，没有25分的，我说的是美元。。。

问有多少种组合方式

这是介绍线性递归这个概念的时候的一个例子，很有意思。

算法嘛，很朴素啊，其主要思想如下

回合制，就是一次递归

每一次都可以选择兑换一个面值最大的，或者不兑换

剩下的将进入下一轮兑换，直到剩下的钱数为0

scheme的代码就不贴上来了，太简单太抽象。我们还是用C++吧

#include<iomanip>
#include<iostream>
using namespace std;

int coin_value[]={0,1, 5, 10, 25, 50};
int coin_count[]={0,0, 0, 0, 0, 0};
int entry_count;
int* matrix;
int cc(int money, int coin_type,int lr)
{
int val = 0;
int vala = 0;
int valb = 0;
entry_count++;
//    cout<<"("<< setw(4) <<money<<","<< setw(4) <<coin_value[coin_type]<<")  ==> ";
if (lr==0)
{
int a = sizeof(coin_count);
memset(coin_count, 0, sizeof(coin_count));
}
if (money ==0)
{
val = 1;
}
else if ((money<0) || (coin_type==0))
{
val = 0;
}
//    else if (matrix[money*6+coin_type] >=0)
//    {
//        val = matrix[money*6+coin_type];
//    }
else
{
vala = cc(money, coin_type-1,0);
valb = cc(money-coin_value[coin_type], coin_type, 1);
val = vala + valb;
if (vala == 0) coin_count[coin_type] += valb;
else           coin_count[coin_type] = valb;
if (money >=0 )matrix[money*6+coin_type] = val;
}

//    cout<<"("<< setw(4) <<money<<","<< setw(4) <<coin_value[coin_type]<<", ";
//    cout<<setw(4) << val <<", "<<(lr==0? "left" :"right") <<")"<<endl;
return val;
}

int main()
{
int money = 100;
matrix = new int[(money+1)*sizeof(coin_value)/sizeof(int)];
memset(matrix, -1, (money+1)*sizeof(coin_value));
entry_count = 0;
cout <<"method = " <<cc(money, 5, 0);
cout << ", calls= "<<entry_count<<endl;
delete[] matrix;
return 0;
}

上面代码用标准递归，被注释掉的那块else if代码是查找已经计算过的节点的值，用来减少递归调用次数。

金额（美分）	10	100	200	500
组合方式	4	292	2435	59576
查找表方式递归次数	31	289	581	1457
简单递归方式递归次数	41	15499	229589	12822611

可以看到用查找表方式，算法的时间复杂度是O(n)，简单递归的时间复杂度是O(n^m)。不过查找表方式 空间复杂度是O（n*m)，简单递归的空间复杂度是O(n+m)。其中，n是金额，m是硬币种类数。

那么，如果我们想知道每种组合的具体配置，how？