hdu5673 Robot 卡特兰数 / 默慈金数

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5673

分析：

　　这道题是一道裸的默慈金数，比较容易想到的是用卡特兰数来做。不了解的可以先学习一下。

　　卡特兰数：http://www.cnblogs.com/yaoyueduzhen/p/5456490.html

　　默慈金数：http://www.cnblogs.com/yaoyueduzhen/p/5456530.html

　　记路径长度为nn,那么机器人最多向右走⌊​n/2​​⌋步并向左走⌊​n/2​​⌋步。

　　　　　　Ans(n)=∑C​(n,​2i)​​ Catalan(i)

　　其中 C(n,2i) 表示从n个物品中取2*i个的组合数，Catalan(n)表示第n个卡特兰数，0 <= i <= ⌊​n/2​​⌋

　　基于n的取值范围，此题可以预处理出1,000,001以内的乘法逆元、卡特兰数。

　　每次询问，都可以递推组合数，或者提前一次性预处理好阶乘和阶乘的逆元得到组合数；累加组合数与相应卡特兰数的乘积，得到答案。

　　事实上，Ans(n)是第n个默慈金数，利用递推公式可以快速求出。

卡特兰数代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>

using namespace std;
const long long mod=1000000007;
long long n;
long long ans[1100000],ni[1100000];

long long power(long long a,long long n,long long m)
{
long long ans=1,tmp=a;
while(n)
{
if(n&1)
ans=ans*tmp%m;
tmp=tmp*tmp%m;
n=n>>1;
}
return ans%m;
}

void init()
{
ans[0]=1;
ans[1]=1;
for(long long i=1;i<=1000005;i++)
ni[i]=power(i,mod-2,mod)%mod;
for(long long i=2;i<=1000000;i++)
ans[i]=(4*i-2)%mod*ans[i-1]%mod*ni[i+1]%mod;
}

int main()
{
init();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld",&n);
long long res=0,tmp=1;
for(long long  i=0;i*2<=n;i++)
{
res=(res+tmp*ans[i]%mod)%mod;
tmp=tmp*(n-2*i)%mod*(n-2*i-1)%mod*ni[2*i+1]%mod*ni[2*i+2]%mod;
}
cout<<res<<endl;
}
return 0;
}

默慈金数代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>

using namespace std;

const long long mod=1000000007;
long long n;
long long ans[1100000];
long long power(long long a,long long n,long long m)
{
long long ans=1,tmp=a;
while(n)
{
if(n&1)
ans=ans*tmp%m;
tmp=tmp*tmp%m;
n=n>>1;
}
return ans;
}

int main()
{
ans[1]=1;
ans[2]=2;
for(long long i=2;i<=1000000;i++)
ans[i+1]=((2*i+3)%mod*ans[i]%mod+3*i*ans[i-1]%mod)%mod*power(i+3,mod-2,mod)%mod;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld",&n);
cout<<ans
<<endl;
}
return 0;
}