动态规划——最少硬币问题

<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; background-color: rgb(255, 255, 255);">       之前我在动态规划(dynamic programming)原理抛出了一个最少硬币问题。接下来，在这篇文章，我们将会对硬币问题进行一个全面的解析，并尽可能的解释动态规划的原理，希望读者们可以通过这个问题能初步了解DP。</span>

问题：最小硬币问题

描述：假设你有面值为1块、2块、5块的硬币，用尽可能少的硬币凑n块钱。假设n块钱是9块钱，相信你们想到的肯定是两张5块，两张2块，总共3张。然而当你的面值改为2块、3块、5块的硬币时候，大家都能看出来是一张5块，两张2块。那我们究竟解决这类问题呢？

分析：

1、对于这个硬币问题，我们每次都是取硬币，或者不取硬币。因此我们可以将这个硬币问题切割成若干个子问题（取不取这种硬币），而且每次决策都会用到这个子问题。而且所有的子问题中必定存在最优解。

2、每次取硬币，都仅仅是做出决策，判断是否取这三种硬币，每次决策之后，除了n块钱会改变之外，其他都没有改变，都是判断是否取这三种硬币的一种，因此可以说硬币问题无后效性。

我们再回想一下实现动态规划的前提：

（1）、最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
（2）、无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关；
（3）、有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）。
看了描述硬币问题似乎可以用动态规划解决喔！
根据我们之前分析：我们推出这个动态规划问题的状态转移方程为：



然后根据公式我们生成这么一个表格


如果读者对这个表有不懂的话，可以看看下面的解析，相信就会理解怎么做的了，已经看懂的可以直接跳过。

首先，蓝色区域代表需要兑换的面值大小，绿色区域代表的是当前所拥有的面值类型（假设当前有2块、3块、5块），而黄色区域则表示使用当前面值的硬币能不能将指定的money找开，另外为了保证能够让电脑知道是找开了，我们还需要一个辅助变量maxCoin，这个是记录当前面值全部兑换成1块钱所需要的硬币数目。

在每次操作之前我们先把当前的F(i)置零以及将valueCoin置零，果发现调用F(i)公式时候所需要的硬币数目变少了，那么我们就更新minCoin和valueCoin。

第二！因为硬币大小是我们自定义的，所以有部分钱我们是找不开的！！比如说0块钱，1块钱，压根就不能用2块、3块、5块找开，所以这里面我们要使用valueCoin记录当前是否可以找开，如果不能找开，valueCoin不会改变，否则就改变成能兑换成的最大的value。（valueCoin是为了到时候我们要输出硬币数目的时候用的）

下面我们对这个状态转移方程举个例子吧，
当money[i]=2，value[j]=2的时候，因为money[i]>=velue[j]所以：
f(2)=f(2-2)+1 = 1
valueCoin[2]=2
当money[i]=7,value[j]=2:

F(7)= f(7-2)+1 = f(5)+1=3
valueCoin[7]=2
当money[i]=7,value[j]=3:

F(7)= f(7-3)+1 = f(4)+1=2
valueCoin[7]不作改变
当money[i]=7,value[j]=5:

F(7)= f(7-5)+1 = f(2)+1=3
valueCoin[7]=5
。
。
。
如果上面的推理看得懂的话，那么相信大家已经可以将代码大致的写出来的了，由于时间关系，代码我会在接下来有空的时间补上，因为之前的状态转移方程写错了，写成了01背包问题的方程了，导致整个文章推倒重写。

文章到了最后说说自己的感受把：我觉得动态规划是一种既让人爱又让人恨

的算法吧，为什么？因为有时候你看到一个问题，你会想到有可能用贪心，后来发现贪心不行，有可能是DP。好了，你知道是DP了，居然不知道这个问题的状态转移方程，找到一个可能的状态转移方程了，发现居然有部分是错误的…心塞无比，所以说，DP这个东西，对于我们这些初学者来说，真的是一个很磨人的东西！

#include <iostream>
using namespace std;
int find_dest(int money, int *coin, int n)
{
int * minCoin = new int[money + 1]();
int * valueCoin = new int[money + 1]();
memset(minCoin, 0, sizeof(int)*(money + 1));
memset(valueCoin, 0, sizeof(int)*(money + 1));
for (int i = 1; i <= money; i++)
{
int maxCoin = i;
int value = 0;
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (i >= coin[j])
{
if (minCoin[i - coin[j]] + 1 <= maxCoin && (i==coin[j]||valueCoin[i - coin[j]] != 0)/*检测上一个是否有效，无效则跳过*/)
{
maxCoin = minCoin[i - coin[j]] + 1;//F[I] = MIN{F[I-VALUE[J]]+1}
value = coin[j];
}
}
}
minCoin[i] = maxCoin;
valueCoin[i] = value;
}
if (valueCoin[money] != 0)
{
while (money)
{
cout << valueCoin[money] << ",";
money -= valueCoin[money];
}
cout << endl;
}
else
{
cout << "error!" << endl;
}
delete[] minCoin;
delete[] valueCoin;
return 0;
}
int main()
{
int money = 9;
int coin[3] = { 2, 3, 5 };
find_dest(money, coin, 3);
system("pause");
return 0;
}