对一个正整数n，算得到1需要的最少操作次数

实现一个函数，对一个正整数n，算得到1需要的最少操作次数。操作规则为：如果n为偶数，将其除以2；如果n为奇数，可以加1或减1；一直处理下去。

例子：

func(7) = 4，可以证明最少需要4次运算

n = 7

n-1 6

n/2 3

n-1 2

n/2 1

要求：实现函数(实现尽可能高效) int func(unsign int n)；n为输入，返回最小的运算次数。给出思路(文字描述)，完成代码，并分析你算法的时间复杂度。

答：

int func(unsigned int n)
{
if(n == 1)
return 0;
if(n % 2 == 0)
return 1 + func(n/2);
int x = func(n + 1);
int y = func(n - 1);
if(x > y)
return y+1;
else
return x+1;
}

假设n表示成二进制有x bit，可以看出计算复杂度为O(2^x)，也就是O(n)。

将n转换到二进制空间来看（比如7为111，6为110）：

- 如果最后一位是0，则对应于偶数，直接进行除2操作。

- 如果最后一位是1，情况则有些复杂。

**如果最后几位是???01，则有可能为???001，???1111101。在第一种情况下，显然应该-1；在第二种情况下-1和+1最终需要的步数相同。所以在???01的情况下，应该选择-1操作。

**如果最后几位是???011，则有可能为???0011，???11111011。在第一种情况下，+1和-1最终需要的步数相同；在第二种情况下+1步数更少些。所以在???011的情况下，应该选择+1操作。

**如果最后有更多的连续1，也应该选择+1操作。

如果最后剩下的各位都是1，则有11时应该选择-1；111时+1和-1相同；1111时应选择+1；大于四个1时也应该选择+1；

int func(unsigned int n)
{
if(n == 1)
return 0;
if(n % 2 == 0)
return 1 + func(n/2);
if(n == 3)
return 2;
if(n&2)
return 1 + func(n+1);
else
return 1 + func(n-1);
}

由以上的分析可知，奇数的时候加1或减1，完全取决于二进制的后两位，如果后两位是10、00那么肯定是偶数，选择除以2，如果后两位是01、11，那么选择结果会不一样的，如果是*****01，那么选择减1，如果是*****11，那么选择加1，特殊情况是就是n是3的时候，选择减1操作。

非递归代码如下：

// 非递归写法
int func(int n)
{
int count = 0;
while(n > 1)
{
if(n % 2 == 0)
n >>= 1;
else if(n == 3)
n--;
else
{
if(n&2)      // 二进制是******11时
n++;
else         // 二进制是******01时
n--;
}
count++;
}
return count;
}

另外一种写法如下：

// 非递归写法
int func(int n)
{
int count = 0;
while(n > 1)
{
if(n % 2 == 0)            // n % 4等于0或2
n >>= 1;
else if(n == 3)
n--;
else
n += (n % 4 - 2);     // n % 4等于1或3
count++;
}
return count;
}