编程题：串珠子

串珠子

题目地址：

http://www.nowcoder.com/question/next?pid=1597148&qid=44664&tid=3206491

描述

现在A和B在玩一个游戏，这个游戏首先给了他们很多珠子，珠子有两种颜色，一种蓝色，一种黄色，我们假定两种珠子都有无限多。A需要选择n颗珠子(n为奇数)，然后由B串成一串项链(顺序由B确定,这里的项链也就是一个环)。假如在最后串成的项链中，A能够找到两个不同位置的蓝色珠子，并在这两处把这个项链断开成两段，其中一段恰好长度为(n+1)/2那么A就胜利了，注意这里为整数截断除法且这个长度是不包括选出的两颗珠子的。现在请你计算出A至少要选择多少颗蓝色珠子，才能保证无论B怎么串，他都能获胜。举个例子，当A选了7颗珠子，其中有3颗蓝珠子，那么如果B串的项链为”蓝蓝红红红红蓝”，则A能获胜，若B串的项链为”蓝蓝红红蓝红红”，则A不能获胜。

输入

给定一个整数n，为A要选出的珠子颗数.

输出

请返回A至少要选的蓝珠子颗数。

思路

先说结论

int find_k(int n) {
if (0 == n%3) {
return n / 2;
} else {
return (n+1) / 2;
}
}

证明如下

假如我是B，我会用最优方式串珠子，那么怎么串呢，如下图



图1：我们如何串珠子(L=n−12−1)

假如我们第一个串蓝的（图中红色），那么，第L%n和第(n-L)%n一定不是能蓝珠子，相应的我们会在 2L%n 和 (2n-2L)%n 放红珠子（图中绿色）。

当n不是3的倍数的时候一切OK。

当 n=3k 时，

L=n−12−1=3k−12−1=32(k−1)

解方程

x(n−L)=yL

32x(k+1)=32y(k−1)

x(k+1)=y(k−1)

因为n为奇数，所以k也必然是奇数，所以xy存在整数解

x=k−12,y=k+12

所以y=x+1, 且x,y<n2

所以必然在放一个蓝色珠子的时候会与一个相应的红色珠子位置冲突，此时，能放入的蓝色珠子便会比正常情况少1。