数学

数学
sf2gis@163.com
2015年8月19日
2016年3月30日重构
 

1 目标：研究数的变化之间的影响关系。

2  原理：抽象主要影响因素（猜测得到），通过观察、猜测得出因素和结果之间的变化规律。

一些简单的规律可以通过直接观察猜到。

借助图形可以更加直观的猜测。

有些复杂的规律通过前人的长期研究总结得到。

变化的模式不一定是唯一的。

3  流程：观察因素和结果样本，观察差分，猜测规律。

3.1 观察因素和结果样本

样本：｛2，4，6，8，10…｝

因素：｛1，2，3，4，5…｝

结果：｛2，4，6，8，10…｝

直接猜测：结果=因素*2。

3.2 观察差分：观察差分值的变化规则，以此作为猜测原样本规则的依据

结果：｛2，4，6，8，10…｝

因素：｛1，2，3，4，5…｝

差分：｛2，2，2，2，2…｝

3.3 猜测规律:根据前人总结经验公式猜测规律

根据差分经验公式：an =△an*n+b

△an=2,a1=2*1+b=>b=0。

得到：an=2n

4  方法：直接观察猜测、图形观测，差分值

4.1 直接观察猜测:最简单、直观的方法，适用于比较简单的情形下。

如x,y互成比例则y=kx。

4.2 根据图形猜测:结合经验图形、公式，猜测规律

如一条直线，则y=kx+b。

4.3 观察差分值与因素的关系：再根据差分经验公式得到规律

图形猜测的升级版，适用于一些具有经验公式的差分序列。

一阶差分：代表序列的变化。

二阶差分：代表一阶差分的变化，序列变化的加速度。

△ak=ak+1-ak

△ak-12=△ak-△ak-1= (ak+1-ak)-(ak-ak-1)= ak+1-ak-1

△ak>0, ak处是增的。

△ak=0, ak处是常数列。

△ak<0, ak处是减的。

△ak-12>0, ak处是上凹的。

△ak-12=0, ak处是直线。

△ak-12<0, ak处是下凹的。

△ak-12正负号变化的点称为拐点。

极限：=L

线性差分方程：具有结果值的项都是只包含唯一结果值的方程。

齐次差分方程：如果差分方程中只包结果值，则称为齐次差分方程。

差分方程的阶：差分方程中下标值的最大项与最小项的差称为阶。

一阶线性差分方程：an+1=ran+b的解为

ak=bk+c                    r=1 ak=rkc+b/(1-r)                                                   r!=1

 

 

 

稳定平衡点：=L（如果存在|a0-q|<ε）。

混沌：如果初始条件不同，则有不同解的差分方程。

蛛网图：依据方程图形和y=x的两条直线进行迭代，可以快速确定平衡值。

无穷级数：简称级数，表示无穷数列的和。

=ak-a1

几何级别：

r为公比，解析解为

an=(rn-1)/(r-1)            r!=1

若|r|<1则rn的极限为0，=1/(1-r)

5 方法：函数

函数：连续变化的因素和结果之间的关系称为函数，用f（x）表示。

中间值性质：连接函数f(x)，（x【a,c】），则对于 f(a)和f(c)之的任意值v，必有因素b【a,c】,使用f(b)=v。