Floating-Point Numbers, UVa11809

文章末尾附上英文题目

这道题在“紫书”的第三章，难度应该不大（水题），可是做了好久……

题目大意

计算机用阶码-尾数的方式保存浮点数。



如图，尾数（Mantissa）有8位，阶码（exponent）有6位，可以表示的最大浮点数为0.1111111112∗21111112。（文中所有数的下标表示进制，如前面的数是二进制）

这里尾数0.111111111为9位。因为12≤m<1，所以二进制表示m时总是0.1∗∗∗的形式，计算机表示时，把最前面不变的0.1部分省略，只表示变化的部分，所以实际计算时，比图中的尾数多了一位。

我们可以看到，数在计算机中是以二进制的形式保存的，因此需要把二进制0.1111111112∗21111112转换成十进制0.99804687510∗26310，换成科学技术法形式表示9.20535763834529410∗101810。

我们需要根据这个最大浮点数（9.205357638345294∗1018），求出尾数和阶码的位数。

AC代码

如果看源代码能看懂的话，后面的内容可以略去

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
using namespace std;

double A[11][31];
long long B[11][31];

void CreateTable() {
for(int i=0; i<10; i++)
for(int j=1; j<=30; j++)
{
double m = 1 - pow(2, -1-i);

//double e = pow(2, j) - 1;
double e = (1<<j) -1; // 用位运算重写上面注释掉的代码

double convert = log10(m) + e*log10(2);
B[i][j] = (long long)convert;
A[i][j] = pow(10, convert-B[i][j]);
}
}

int main()
{
CreateTable();
char s[40];
while(cin.getline(s, 40)) {
if(strcmp(s, "0e0") == 0)
break;

char s1[40], s2[40];
// 分离出e前后的数
sscanf(s, "%[^e]", s1);
sscanf(s, "%*[^e]e%s", s2);

double a;
int b;
// 字符数组转换成浮点数与整数
sscanf(s1, "%lf", &a);
sscanf(s2, "%d", &b);

if(a < 1){
a*=10;
b-=1;
}

for(int i=0; i<10; i++)
for(int j=1; j<=30; j++)
if(b == B[i][j] && fabs(a - A[i][j]) < 0.0001)
printf("%d %d\n", i, j);
}
return 0;
}

求解步骤

打表

0≤M<9，1≤E≤30，了解到可以打表先存起来，后面输入时直接查表即可。

void CreateTable() {
for(int i=0; i<10; i++)
for(int j=1; j<=30; j++)
{
double m = 1 - pow(2, -1-i);

//double e = pow(2, j) - 1;
double e = (1<<j) -1; // 用位运算重写上面注释掉的代码

double convert = log10(m) + e*log10(2);
B[i][j] = (long long)convert;
A[i][j] = pow(10, convert-B[i][j]);
}
}

把对应位数的二进制m与e转换成十进制

计算m时，对应位数i的十进制m计算步骤2−1+2−2+⋯+2−1−i=1−2−1−i

计算e时，对应位数j的十进制e计算步骤20+21+⋯+2j−1=2j−1

对于e的计算，我们可以用位运算

(1<<j) -1

m∗2e=A∗10B，不过直接计算目测会溢出（能优化就优化吧）。我们采用“对数法”（姑且这么叫吧），即等式两边取对数，得log10m+e∗log102=log10A+B∗log1010=log10A+B

0<log10A<1，对log10m+e∗log102取整数部分，即是B，A=10(log10A+B)−B=10(log10m+e∗log102)−B

B[i][j] = (long long)(log10(m) + e*log10(2));
A[i][j] = pow(10, (log10(m) + e*log10(2))-B[i][j]);

处理输入

整行读取，分理处e前后的数。这里我两次用到了sscanf函数，先是配合正则表达式提取出e前后的字符数组，再把字符数组转换成对应的浮点数与整数。（后来发现用strchr函数更方便…）

char s1[40], s2[40];
// 分离出e前后的数
sscanf(s, "%[^e]", s1);
sscanf(s, "%*[^e]e%s", s2);

double a;
int b;
// 字符数组转换成浮点数与整数
sscanf(s1, "%lf", &a);
sscanf(s2, "%d", &b);

因为是A∗10B的形式，所以我们应限定1≤A<10，然而题目中只说0<A<10。因此我们应该再处理一下

if(a < 1){
a*=10;
b-=1;
}

查表

在表中查找，其中关于a的精度，根据2−9≈0.001953，我们限定精度为0.0001即可。

if(b == B[i][j] && fabs(a - A[i][j]) < 0.0001)

英文题目