单源最短路径 --Dijkstra算法-通过边实现松弛

单源最短路径 --Dijkstra算法-通过边实现松弛

算法思想：

每次找到离源点最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径

基本步骤如下：

１、将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合Ｐ和未知最短路径的顶点集合Ｑ。最开始，已知最短路径的顶点集合Ｐ中只有源点一个顶点，我们这里用一个 book数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[i]为1，则表示这个顶点在集合P中，如果book[i]为0则表示这个顶点在集合Q中。

2、设置源点s到自己的最短路径的为0，即dis[s]=0;若存在有源点能直接到达的顶点i，则把dis[i]设置为e[s][i]。同时把所有其他（源点不能直接到达的）顶点的最短路径设为正无穷。

3、在集合Q中的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来代替当前的dis[v]中的值。

4、重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有的顶点的最短路径。

例如：

求顶点1到其他顶点的距离

第一行输入两个整数n和m。n表示顶点个数（编号1到n），

m表示边的条数。接下来m行，每行有3个数，

xyz，表示顶点x到顶点y边的权值为z。

input

6 9

1 2 1

1 3 12

2 3 9

2 4 3

3 5 5

4 3 4

4 5 13

4 6 15

5 6 4

output

0 1 8 4 13 17

#include<stdio.h>
int main(void)
{
int e[10][ 10],dis[10],book[10];
int i,j,n,m,t1,t2,t3;
int u,v,min;
int inf=99999999;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j)
{
e[i][j]=0;
}
else
{
e[i][j]=inf;
}
}
}
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
e[t1][t2]=t3;
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
dis[i]=e[1][i];
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
book[i]=0;
}
book[1]=1;
//Dijkstra算法核心语句
for(i=1;i<=n-1;i++)
{
min=inf;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(book[j]==0&&dis[j]<min)
{
min=dis[j];
u=j;
}
}
book[u]=1;
for(v=1;v<=n;v++)
{
if(e[u][v]<inf)
{
if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
{
dis[v]=dis[u]+e[u][v];
}
}
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d ",dis[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}