基于移动最小二乘的图像变形

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一、背景意义

写这篇博文是应为目前为止我看到了好多领域里的经典paper算法都有涉及到移动最小二乘（MLS）。可见这个算法非常重要，先来看一下它的相关经典应用：

1、图像变形。在图像处理领域paper：《Image Deformation Using Moving Least Squares》利用移动最小二乘的原理实现了图像的相关变形，而且这篇paper的引用率非常高，可以说是图像变形算法的经典算法，Siggraph上面的paper。



利用移动最小二乘实现图像变形
2、点云滤波。利用MLS实现点云滤波，是三维图像学点云处理领域的一大应用，我所知道点云滤波经典算法包括：双边滤波、MLS、WLOP。
3、Mesh Deformation。用这个算法实现三角网格模型的变形应用也是非常不错的，相关的paper《3D
Deformation
Using Moving Least Squares》
OK，接着我就以《Image Deformation Using Moving Least Squares》算法为例，进行讲解基于移动最小二乘的图像变形算法实现。
二、算法实现
在这里我没有打算将算法原理的推导过程，直接讲算法的实现步骤公式。
这篇paper根据变换矩阵的不同，可以分为三种变形方法，分别是仿射变换、相似变换、刚性变换。其中刚性变换的效果是最好的，我这边从简单的讲，只讲仿射变换的变形算法实现：
问题：原图像的各个控制顶点坐标p，原图像上的像素点v的坐标。变形后图像的控制顶点位置q，求v在变形后图像中对应位置f(v)。
总计算公式为：



上面中lv(x)和f(v)是同一个函数。因为x就是我们输入的原图像的像素点坐标v。
因此我们的目标就是要知道p*，q*，变换矩阵M。这样输入一个参数x，我们就可以计算出它在变换后图像中的位置了。
OK，只要我们知道上面公式中，各个参数的计算方法，我们就可以计算出变形后图像对应的坐标点f(v)了。
1、权重w的计算方法为：



也就是计算v到控制顶点pi的距离倒数作为权重，参数a一般取值为1。
这一步实现代码如下：



2、q*，p*的计算公式如下：



也就是计算控制顶点pi和qi的加权求和重心位置。






3、仿射变换矩阵M的计算公式如下:







只要把相关的参数都带进去就可以计算了。
最后贴一些完整的MLS源代码：

调用方法示例：

图像变形算法，有正向映射和逆向映射，如果按照每个像素点，都通过上面的计算方法求取其对应变换后的像素点位置，那么其实计算量是非常大的，因为一幅图像的像素点，实在是太多了，如果每个像素点，都用上面的函数遍历过一遍，那计算量可想而知。
因此一般的变形算法是对待图像进行三角剖分：



然后只根据只对三角网格模型的顶点，根据变形算法，计算出三角网格模型每个顶点的新位置，最后再用三角形仿射变换的方法，计算三角形内每个像素点的值，得到变形后的图像，这样不仅速度快，同事解决了正向映射与逆向映射变形算法存在的不足之处，具体图像变形的正向和逆向映射存在的缺陷，可以自己查看相关的文献。
另外两种相似变换和刚性变换，可以自己查看M矩阵的计算公式，编写实现相关代码。
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参考文献：
1、《Image Deformation Using Moving Least Squares》
2、《3D
Deformation
Using Moving Least Squares