【GDOI2016模拟4.23】无界单词

Description

学过kmp吗？

一个只由a和b组成的字符串S，如果next[|S|]=0，那么这个单词就是无界的，否则就是有界的。

给出n和k，求长度为n的无界单词有多少个，和其中字典序第k小的是什么。

多组询问。

Type<=50,n<=64

Solution

很考验思维的一道题。

一般人（我）看到就想到鬼畜数论，结果正解是dp（也不算吧）

首先处理第一问。

好像很难做

正难则反。

设FiFi表示长度为i的无界单词的数量，那么，我们只需要用2i2^i减去有界单词的数量。

一个很明显的性质，如果一个有界单词最小的前后缀相等长度为j，那么它长度为j的前缀一定是无界单词。

另一个性质，j<=i/2。

那么我们可以通过枚举j，把这一段复制到后面，剩下的任选，那么Fi=2i−∑j=1i2Fj∗2i−2∗jFi=2^i-\sum_{j=1}^{i\over 2}Fj*2^{i-2*j}

并且这样是不会算重的。

那么第二问呢？

我们一位一位枚举，先填a，如果此时剩余的无界单词数量< k，那么这一位就必须填b，并且k要减去剩余的数量。

如何计算剩余的数量？

还是使用上面的思路。

假设前Len位已经确定，那么我们可以分类讨论。

1.[b]len>=i[/b]

这时的字符串已经是确定的，那么只需要用kmp（暴力）就好了。

2.[b]len<=j[/b]

这时我们复制是不会有重复的，也不会有任何影响，就像第一问的方法一样做就好了。

3.[b]len>j&&len<=i-j[/b]

差不多，但是中间本来任选的地方也有一些是确定的，只需要改变任选的方案数成2i−j−len2^{i-j-len}就好了。

4.[b]len>i-j[/b]

这样的话中间就没有任选的了，并且我们复制的时候会和原来已经确定的部分重叠，hash判断是否可行。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define N 65
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f
,mi
,h
,cnt,k;
int n,ty,next
,j,ans
,len;
int hash(int x) {
int y=len-x;
return h[x]==h[len]-h[y]*mi[x];
}
ll calc(int len) {
fo(i,1,len) f[i]=!next[i];
fo(i,len+1,n) {
f[i]=mi[i-len];
fo(j,1,i/2) {
if (j>=len) cnt=mi[i-2*j];
if (len>j&&len<=i-j) cnt=mi[i-j-len];
if (len>i-j) cnt=hash(len-i+j);
f[i]-=f[j]*cnt;
}
}
return f
;
}
void push(int c) {
ans[++len]=c;h[len]=h[len-1]*2+c;
if (len==1) return;
while (j&&ans[j+1]!=ans[len]) j=next[j];
next[len]=j+=(ans[j+1]==ans[len]);
}
ll work() {
printf("%lld\n",calc(0));j=len=0;
memset(next,0,sizeof(next));
fo(i,1,n) {
int l=j;push(0);
ll cnt=calc(len);
if (cnt<k) len--,j=l,
push(1),k-=cnt;
}
fo(i,1,n) printf("%c",ans[i]+'a');
printf("\n");
}
int main() {
freopen("word.in","r",stdin);
freopen("word.out","w",stdout);
mi[0]=1;fo(i,1,64) mi[i]=mi[i-1]*2;
for(scanf("%d",&ty);ty;ty--)
scanf("%d%lld",&n,&k),work();
}