求渐近线

求$f(x)=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}(x>0)$的斜渐近线

(i).斜渐近线系数

$$a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)^{x}=e^{-1}$$

(ii)$$b=\lim_{x\to\infty}f(x)-ax=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e}\left(e^{1+x\ln \frac{x}{1+x}}-1\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e}\left(1+x\ln \frac{x}{1+x}\right)$$

求此极限有两种方法。

方法一：利用 Peano型的Taloy公式有

$$\ln \frac{x}{x+1}=\ln\left(1-\frac{1}{x+1}\right)=-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}+o\left(\frac{1}{(x+1)^{2}}\right),x\to \infty$$

代入上式即可得$b=2e^{-1}$.

方法二： 利用L'Hospital法则

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e}\left(1+x\ln \frac{x}{1+x}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e}\frac{1+x(\ln x-\ln (1+x))}{1/x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2e}\frac{\frac{1}{x(x+1)^{2}}}{x^{-3}}=2e^{-1}$$

注意：(1) 应用L'Hospital法则时，要验证是否满足条件。

(2) 此处不宜使用倒代换$t=\frac{1}{x}$，因为倒代换之后无法继续使用L'Hospital法则。