【树】树的重量

<- 题目描述

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树，其叶节点表示一个物种，两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在，一个重要的问题是，根据物种之间的距离，重构相应的“进化树” 。

令 N={1..n}，用一个 N 上的矩阵 M 来定义树 T。其中，矩阵 M 满足：对于任意的 i，j，k，有 M[i，j]+M[j，k]>=M[i，k]。树 T 满足：

1．叶节点属于集合 N；

2．边权均为非负整数；

3．dT(i，j)=M[i，j]，其中 dT(i，j)表示树上 i 到 j 的最短路径长度。

如下图，矩阵 M 描述了一棵树。



树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵 M，它所能表示树的重量是惟一确定的，不可能找到两棵不同重量的树，它们都符合矩阵 M。你的任务就是，根据给出的矩阵 M，计算 M 所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵 M 所能表示的一棵树，这棵树的总重量为 15。



输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数 n (2<n<30)。其后n-1 行，给出的是矩阵 M 的一个上三角(不包含对角线)，矩阵中所有元素是不超过 100 的非负整数。输入数据保证合法。输入数据以 n=0 结尾。输入文件不超过 20kb。

- 输出

对于每组输入，输出一行，一个整数。

- 样例输入

5

5 9 12 8

8 11 7

5 1

4

4

15 36 60

31 55

36

0

样例输出

15

71

题解

设d[i][j]是第i个点到第j个点的最短路

当n==2时，重量就是d[1][2];

当n==3时，来了一个点，这时1,2到3的边一定有重复部分。重复部分等于（d[1][3]+d[2][3]-d[1][2]）/2;

这时只要把重量加上重叠部分就行了

当n>3时以此类推

对于第i个点

枚举j(2~i)

有重叠部分t=min(t,(d[1][i]+d[j][i]-d[1][j])/2);

用重量加上重叠部分得到答案。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=50;
const int INF=(1<<30);
int d[maxn][maxn];
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)==1&&n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
scanf("%d",&d[i][j]),d[j][i]=d[i][j];
int ans=d[1][2];
for(int i=3;i<=n;i++)
{
int t=INF;
for(int j=2;j<i;j++)
{
t=min(t,(d[1][i]+d[j][i]-d[1][j])/2);
}
ans+=t;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}