HDU 5673 Robot（卡特兰数）

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思路：卡特兰数可以用来求括号序列的个数， 用了组合数学的知识。 该题其实就等价于求一个括号序列的个数， 因为满足任意时刻， 向右的步数大于等于向左的步数。 但是该题还有停止不动的情况， 所以我们不妨枚举向右的步数， 然后求出括号序列的组合数， 然后剩下的就是停止不动的步数， 用组合数插空即可。 另外， 除法取模要取逆元， 我们可以线性预处理出所有逆元。

细节参见代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const ld eps = 1e-9, PI = 3.1415926535897932384626433832795;
const int mod = 1000000000 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
// & 0x7FFFFFFF
const int seed = 131;
const ll INF64 = ll(1e18);
const int maxn = 1000100;
ll inv[maxn], h[maxn], c[maxn];
int T,n,m;
void init() {
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; i++) { //预处理逆元
inv[i] = ( mod - mod / i ) * inv[mod%i] % mod ;
}
}
int main() {
init();
scanf("%d",&T);
h[1] = h[0] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; i++) { //求卡特兰数
h[i] = h[i - 1] * (4 * i - 2) % mod * inv[i + 1] % mod;
}
while(T--) {
scanf("%d",&n);
ll ans = 1;
c[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) { //求组合数
c[i] = c[i - 1] * (n - i + 1) % mod * inv[i] % mod;
}
for(int i = 1; ; ++i) { //枚举i， 表示有i步向右的方法数
int k = n - (i << 1); //有k步不动
if (k < 0) break;
ans = (ans + h[i] * c[k]) % mod;
}
printf("%I64d\n", ans);

}
return 0;
}