逻辑回归数学推倒讲解

the logistic function公式

θ=es1+es\theta=\frac{e^s}{1+e^s} 其中入参是s,也就是神经元的信号s=WTXW^TX, 它的意思是归类到目标分类的概率是多少。这个公式也叫sigmoid，因为他是平滑的临界值。

现在我们有h(x)=θ(s)\theta(s),这个被解释为一个概率的含义，举个例子，比如心脏病的概率是多少。

输入为一个向量x: 血脂水平，年龄，体重，血压等。

θ(s)\theta(s):就是心脏病的概率，我们知道s=WTXW^TX 可以理解为 风险指数。

推广到一般的概率概念

数据 Data(x,y) 里面的y是二进制啊。这个数据集并没有给你概率，而是直接给你了到底y是归属与某个分类与否，举个例子，比如到底有心脏病，还是没有。并不会告诉你25%的概率生心脏病。

那么 y是有一个噪声的，并不准确。所以说目标函数

p(y|x)=f(x) for y=+1,

p(y|x)=1-f(x) for y=-1

公式1

y的分布概率是通过f来产生的。

我们想来学习一个目标函数g(x)=θ(WTX)≈\theta(W^TX) \approxf(x)

现在的问题就是，我们如何来找到一个w，它能够产生和样本一样的概率分布的y。

错误度量

每一个(x,y) ,y 是被概率f(x)来产生的，比较常用的错误代价函数是likelihood

如果 目标函数就是f, 那么从x产生y的概率有多像，多类似。

如何来计算呢，我们来再回顾一下

p(y|x)=θ(ywTx)\theta(yw^Tx) 这个公式可以用来替代公式1

θ(−s)=1−θ(s)\theta(-s)=1-\theta(s)

数据集的最大似然 D=(x1,y1),…,(xn,yn)x_{n},y_{n}) 可以写成一个概率的连乘，这样就是把所有测试数据里面的的概率都考虑了一便。

公式如下：

max_value= ∏Ni=1θ(ynwTxn)\prod_{i=1}^{N}\theta(y_{n}w^Tx_{n})

相当于最小化：

min_value=-1N∏Ni=1θ(ynwTxn)\frac{1}{N}\prod_{i=1}^{N}\theta(y_{n}w^Tx_{n})

我们的目标就是把这个连乘写成一个对数函数的相加.

min_value=1N∑Ni=1ln(1θ(ynwTxn))\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}ln(\frac{1}{\theta(y_{n}w^Tx_{n})})

这里θ=11+e−s\theta=\frac{1}{1+e^{-s}} 所以上述公式可以简化为：

Ein=1N∑Ni=1ln(1+e−ynwTxn)E_{in}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}ln(1+e^{-y_{n}w^{T}x_{n}})

所以我们的误差度量函数可以写成如下的形式：

e(h(xn),yn)=ln(1+e−ynwTxn)e(h(x_{n}),y_{n})=ln(1+e^{-y_{n}w^{T}x_{n}})

未完待续