【双向dp】NOIP提高组2008传纸条

【问题描述】

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

【题目分析】

很明显示应该使用dp求解，但是在解决过程中发现：如果按照经典dp来写的话，即F[i][j][k][l]表示第一个人的纸条在（i,j），第二个人的纸条在（k,l）的话时间代价是很大的，所以可以加入一个小优化。

根据俩个纸条无论向下走还是向右走（视为俩张都从左上角传到右下角），那么在任意相同时刻（假设俩张一起传），那么都满足一个等式

x1+y1==x2+y2

所以进行优化F[i][j][k]表示已经走了i步，第一张纸条横坐标为j，第二张纸条横坐标为k时所需要的最小代价。

下面是源代码，毕竟不是神犇，代码写的很烂，但是可读性（对于初学者来说）还可以。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int m,n,a[51][51],F[100][51][51];
int Max(int a,int b,int c,int d)
{
if(a>=b&&a>=c&&a>=d)
return a;
if(b>=a&&b>=c&&b>=d)
return b;
if(c>=a&&c>=b&&c>=d)
return c;
if(d>=a&&d>=b&&d>=c)
return d;
}
void read()
{
int i,j;
cin>>n>>m;
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=m;j++)
cin>>a[i][j];
return;
}
void dp()
{
int i,j,k;
for (k=1;k<=n+m-2;k++)
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
{
if(i==n&&j==n&&k==n+m-2)
F[k][i][j]=Max(F[k-1][i-1][j],F[k-1][i][j-1],F[k-1][i][j],F[k-1][i-1][j-1])+a[i][k+2-i]+a[j][k+2-j];
else  if(i!=j&&k+2-i>=1&&k+2-j>=1)
F[k][i][j]=Max(F[k-1][i-1][j],F[k-1][i][j-1],F[k-1][i][j],F[k-1][i-1][j-1])+a[i][k+2-i]+a[j][k+2-j];
}
cout<<F[n+m-2]

;
}
int main()
{
freopen("message.in","r",stdin);
freopen("message.out","w",stdout);
read();
dp();
return 0;
}