poj1845 逆元，快速模幂

题目大意：

给定两个正整数

和

，求

的所有因子和对9901取余后的值。

分析：

很容易知道，先把

分解得到

，那么得到

，那么


的所有因子和的表达式如下



因为要取模且存在除法，所以要用到逆元。

对于正整数

和

，如果有

，那么把这个同余方程中

的最小正整数解叫做

模

的逆元。

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果

为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为

。

推导过程如下



求现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值（已知

）



当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果

是素数，还可以用费马小定理。

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求

与

互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下



现在我们来证明它，已知

，证明步骤如下



等比数列求和公式，用如下公式即可



因为

可能会很大，超过int范围，所以在快速幂时要二分乘法。

接下来就是代码了：（一定要讲乘法二分，还有取模后一定要加模）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <iomanip>

using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define maxn 10005
#define MOD 1000000007
#define mem(a , b) memset(a , b , sizeof(a))
#define LL long long
#define ULL long long
const long long INF=0x3fffffff;
bool prime[maxn];
int p[maxn];

void is_prime()
{
mem(prime , true);
int id = 0;
prime[0] = prime[1] = false;
for(int i = 2 ; i < maxn ; i ++)
{
if(prime[i])
{
p[id++] = i;
int j = 2 * i;
while(j <= maxn) prime[j] = false , j += i;
}
}
}

LL mulit(LL a , LL  b , LL mod)
{
a %= mod;
b %= mod;
LL res = 0;
while(b)
{
if(b & 1)
{
res = (res + a) % mod;
}
b >>= 1;
a = (a + a) % mod;
}
return res % mod;
}

LL quick_mod(LL a , LL b , LL mod)
{
LL res = 1;
while(b)
{
if(b & 1)
{
res = mulit(res , a , mod);
}
a = mulit(a , a , mod);
b >>= 1;
}
return res;
}
//ofstream  ofile;
int main()
{
LL a , b;
is_prime();
while(scanf("%lld %lld",&a , &b) != EOF )
{
LL ans = 1;
for(int i = 0 ; p[i] * p[i] <= a ; i++)
{
if(a % p[i] == 0)
{
int num = 0;
while(a % p[i] == 0)
{
num ++;
a /= p[i];
}
ans *= (quick_mod(p[i] , num * b+1 , 9901 *(p[i]-1) ) + (9901 *(p[i]-1))- 1) / (p[i] - 1);
ans %= 9901;
}
}
if(a > 1)
{
ans *= (quick_mod(a ,  b+1 , 9901 *(a-1) ) + 9901 *(a-1) - 1) / (a - 1);
ans %= 9901;
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}