Leetcode 343(Integer Break非动态规划求解)

问题

Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.

For example, given n = 2, return 1 (2 = 1 + 1); given n = 10, return 36 (10 = 3 + 3 + 4).

Note: you may assume that n is not less than 2.

Hint:

There is a simple O(n) solution to this problem.

You may check the breaking results of n ranging from 7 to 10 to discover the regularities.

分析

这道题一般会采用动态规划求解，可动态规划一是需要额外空间存储动态数组，二是需要给定初始条件和动态规划规则。

我并没有使用动态规划的思想，二是考虑到，一个数拆分成若干个加数的乘积，这几个加数一定是非常接近的（差得绝对值小于1）。

举个反例，如果n=a+b+b+b+bn=a+b+b+b+b组成，其中a−b=2a-b=2, 那么a∗b∗b∗b∗ba*b*b*b*b一定不是最大的，因为(a−1)(b+1)=ab+(a−b−1)=ab+1>ab(a-1)(b+1)=ab+(a-b-1)=ab+1>ab。

所以解题思路为依次把 nn 分成 ii 份，那么每份为⌈ni⌉\lceil \frac{n}{i}\rceil 或者⌊ni⌋\lfloor\frac{n}{i}\rfloor, 计算完判断一下不同的数的差值，如果绝对值不小于1，则换另一种。将ii从22遍历到nn，选择最大的输出则是所求的结果。

class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
int maxProduct=1;
if(n==1) return 1;
for(int i=2;i<=n;i++){
int divider=n/i;
int remaining=n-divider*(i-1);
if(remaining-divider>1||remaining-divider<-1){
divider++;
remaining=n-divider*(i-1);
}
int product=pow(divider,i-1)*remaining;
if(product>maxProduct){
maxProduct=product;
}
}
return maxProduct;
}
};

时间复杂度为o(n)o(n), 空间复杂度为O(1)O(1).