CQOI2016 伪光滑数

这里讲讲搜索。

二分答案ans，若要求ans~N中伪光滑数的个数，可以用1~N的个数减去1~ans-1的个数。搜索x范围内伪光滑数的个数，先枚举伪光滑数中最大的质因子，就可以知道伪光滑数因子个数的上限，以及因数大小的上限，可以设计dfs函数dfs(num,x,last)表示伪光滑数因子个数的上限，伪光滑数大小上限，上次用过的因子。直接枚举所用的因子转移状态，其中last不递增防止计算重复。

优化就是若last^num<=x，意味着剩下的因子可以在last之内随便选，利用挡板原理那么方案数就是C(last以内因子个数,last以内因子个数+num)，其中不一定要选够num个因子，所以相当于多了一个可以选的因子。可以卡过。

第二个优化就是当x比较小时记忆化一下，优化明显。

这个方法可以通过k为任意值的数据，N=10^18时，k最大为5百万左右，附上代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll N;
ll p[200],top;
const ll inf=3000000000000000000;
ll lim[200][200],c[200][200];
void prepare()
{
fo(i,2,128)
{
int ok=1;
fo(j,1,top)
if (i%p[j]==0) ok=0;
if (ok) p[++top]=i;
}
c[0][0]=1;
fo(i,1,100)
fo(j,0,i)
c[j][i]=(j>0?c[j-1][i-1]:0)+c[j][i-1];
}
ll f[70][3000][40];
ll dfs(ll cs,ll n,ll last)
{
if (n<3000 && f[cs]
[last]) return f[cs]
[last];
if (n==0) return 0;
if (cs==0) return 1;
if (lim[last][cs]<=n) return c[cs][last+cs];
ll re=1;
fd(i,last,1) re+=dfs(cs-1,n/p[i],i);
if (n<3000) f[cs]
[last]=re;
return re;
}
ll get(ll n)
{
ll re=0;
fo(i,1,top)
{
lim[i][1]=p[i];
fo(j,2,70)
{
lim[i][j]=lim[i][j-1]*p[i];
if (lim[i][j]/p[i]!=lim[i][j-1]) lim[i][j]=inf;
}
}
fo(i,1,top)
{
ll cs=0,tp=N;
while (tp>=p[i]) cs++,tp/=p[i];
ll num=cs-1;
re+=dfs(num,n/p[i],i);
}
return re;
}
int main()
{
prepare();
ll k;
scanf("%lld%lld",&N,&k);
ll l=1,r=N,srm=get(N),ans=0;
while (l<=r)
{
ll mid=(l+r)>>1;
if (srm-get(mid-1)>=k) ans=mid,l=mid+1; else
r=mid-1;
}
printf("%lld",ans);
}