线代笔记3

对应于系数矩阵初等变换后，对应于主元列的变量，称为基本变量，对应非主元列的变量称为自由变量
基本变量可以表示成自由变量的线性组合，也就是说，自由变量之间是线性无关的
可以被自由变量表示的基本变量和自由变量之前是线性相关的，自由变量之间是线性无关的，因为把基本变量右移，就成了一个系数不为零的齐次方程。比如x1=x3+x5,变量右移后变成x3+x5-x1=0，系数分别是1,1，-1，不全为0，所以可以说x1，x3，x5线性相关。
所以零空间，也就是解空间的维数就是自由变量的个数，即非主元列的个数

列空间的维数是主元列的个数
一般而言，从以下几个方面入手：
1.先要弄清楚这个概念是怎样提出来的？它的背景是什么？
2.这个概念的确切内容是什么？
3.多举一些例子来帮助理解概念

人们很早就用代数的方法去研究几何图形的性质，即建立坐标系，用坐标表示点，用方程表示图形，这就是解析几何。线性代数正是随着解析几何的研究而发展起来的。在解析几何里，经常要求交点或者交线，也就是求线性方程组的解。所以线性方程在什么时候有解，怎么求解，解的结构如何，这就是线性代数要研究的第一个问题。线性方程组可以完全被它的全部系数和常数项决定，即Ax=b里面的A和b，至于未知数用什么符号表示是没有关系的。因此线性方程完全可以用一个矩阵来表示[A
b]（增广矩阵），所以研究线性方程组就转化为研究矩阵。
在研究线性方程组时，一个线性方程a1x1+a2x2+.....+akxk=b可以用一个有序数组（a1,a2,.....ak,b)表示，这样的有序数组称之为向量。一个n个数字的有序数组称为n维向量。但是像向量和矩阵这些对象已经不是单纯的数，所以只满足特定的运算方式，线性代数就是研究具有加法和数乘这两种线性运算的集合的一门课程，且这样的集合就称为线性空间。
在线性代数中，由线性方程组抽象出矩阵和n维向量这两个概念，同时又从n维向量空间抽象出线性空间。
我们最初的目的是研究线性方程组什么时候有解，由于每一个单独的线性方程都可以用一个向量表示，所以自然会问线性方程组是否有解跟表示方程组的这一组向量之间是怎么样的向量有什么关系。两个向量的关系即共线与不共线，在解析几何里知道，两个向量共线的充要条件是其中一个向量是另一个向量的倍数a=Mb，即1*a-M*b=0，换而言之，也就是说存在不全为零的系数k1，k2，使得k1a+k2b=0，从而引出线性相关，推广到n维向量空间：
如果存在一组不全为零（有非零解）的系数使得k1a1+k2a2+......+ksas=0a成立，则称向量组（a1,a2,.....as）线性相关，值得注意的是，对于任何向量组都有0*a1+0*a2+.....+0*as=0，即一定有零解，但是，是不是只有零解呢？
如果只有当系数全部为零时，方程成立，则称向量（a1,a2,.....as）组线性无关。
除开线性方程组用到矩阵之外，不同坐标系中的坐标变换也可以用矩阵来表示，或者说这是矩阵最重要的意义。同时，二次曲线问题的提出需要研究二次型，矩阵也是研究二次型一个有力的数学工具。二次型理论首先的一个应用就是解决了二次曲线，特别是二次曲面的分类问题，其次，系数是实数的二次型的正定，负定，不定性被用在数学分析中解决多元函数的极大值，极小值问题。

一个线性方程组可以用一个矩阵来表示，一个线性方程可以用一个向量来表示
所以最大无关向量组的向量的个数，其实也就是化简后同解方程的个数，即秩
联系矩阵就是：
    不相关的行数等于不相关的列数，这个数字就是秩！！！

三个二维向量肯定是线性相关的
因为二维向量最多能张成一个二维的空间
两个三维的向量能张成几维的空间？最多只能张成二维的空间，不过要注意的是，这个二维的空间是三维空间的子空间。
所以行空间和列空间的维数相等。