线代笔记2

可逆=行列式不为零=满秩=齐次方程只有零解=线性无关
线性无关的意思是：向量之间没有任何关系，谁也不能表示谁，谁也不能被谁表示，向量前的系数都是零

在高斯消元过程中，会出现方程组中若干个方程被消去的情况，剩下的方程个数称为r，称为线性方程组的秩。
这r个方程可以表示原方程组中的所有方程，并且这r个方程不能再减少。
方程组的个数就是系数矩阵的秩r

r=n方程个数等于未知数个数，有唯一解，这个唯一解就是零解

因此要考虑系数矩阵的秩是否小于未知数的个数。

秩是一个数字，是关于矩阵的一个数量指标，代表线性无关的方程的个数，或者是最大无关向量组的个数，张成最大子空间的维数。
1.行列式不为零，秩等于阶数，
2.行列式为零，秩是不为零的子式的最高阶数
3.不是方阵的矩阵，秩是不为零的子式的最高阶数
由下图理解，为什么秩是行列式不为0的子式的最高阶数，因为如果任意一行或列可以用矩阵中其他任意行或列的线性组合来表示，那么这个行列式的值就等于0.

Ax=b可以理解成：
1.向量方程，b=x1a1+x2a2+.....
向量b如果在系数矩阵A的列空间里，那么方程组有解
解方程组，就是找出向量b被向量组{a1，a2…}线性表示的系数

2.矩阵方程
若A是mxn矩阵，即n维向量x被A变换成新的m维向量b
解方程组就是已知变换的方式A和变换结果b，求变换之前的样子x，也就是求A的逆矩阵
或者说是求有哪些向量可以被A变成b。

秩的理论完整的刻画了线性方程组解的情况
其中方程组的个数就是系数矩阵的秩
有解的充要条件是：
系数矩阵的秩r等于增广矩阵的秩rc
矩阵增广的意思是：把所有的向量和变换矩阵的列向量放到一起同时进行基坐标系的变换，这样就可以保证所有的向量是参照同一个基的坐标值，从而保证解的等价性。

当且仅当r=rc时，方程有解，且可以按r（方程个数）与n（未知数个数）的关系继续分类：
1.r=n，方程个数等于未知数个数，有唯一解
2.r<n，方程个数小于未知数个数，有无穷多解（高维的向量降维变成向量b）

如果r<rc，则方程Ax=b无解，即b不在A的列空间中，因为方程个数多余未知数的个数，这种方程组被称为超定方程组。
由于测量误差的存在和多次测量，超定方程组是很常见的。
对于向量b不在A的列空间中这种情况，人们想了个办法，就是把b向量投影到列空间中，得到一个投影向量b2作为替代向量。
然后，方程组Ax=b的最小二乘解就是方程组Ax=b2的解。
方程组Ax=b2的最小二乘解有一个公式：

误差向量b-b2与矩阵A的列空间正交，也就是与A的每个列向量正交，那么
向量b-b2与每个列向量的内积等于0
A转置一下，列向量变成行向量，仍然有内积等于0：
A’（b-b2）=0
把Ax=b2带入上式：
A‘（b-Ax）=0
化简得到：
A’Ax=A’b
这个方程组的解就是原方程的最小二乘解

解齐次方程组的过程：

增广矩阵初等行变换（高斯消元）
得到同解方程组
变量右移
补齐恒等式
将方程组改写成向量形式

未知数个数n是空间维数n
方程个数r是系数矩阵的秩
若有四个未知数，就是四元方程
1.如果只有一个四元方程，则变量右移可以将其中一个变量用其余三个变量的线性组合表示，加上一个常向量，四个向量
2.如果有两个四元方程，右移变量的话，有两个变量可以由其余两个变量线性表示，加上一个常向量，三个向量量
3.如果有三个四元方程……
此处的向量是变量前的系数构成的列向量（竖着的数组）
所以线性齐次方程组的解的结构式n-r个向量，加上一个常向量的线性组合。