PE 190 【拉格朗日乘数】

其实这是一道水题，我只是来水的QAQ

题目大意:f(m)=x1x22x33⋯xmmf(m) = x_1x_2^2x_3^3\cdots x_m^m的最大值,其中x1+x2+⋯+xm=mx_1+ x_2 + \cdots + x_m = m，求∑15i=2⌊f(i)⌋\sum_{i=2}^{15}\lfloor f(i) \rfloor

列出式子，解得 x1:x2:⋯:xm=1:2:⋯:mx_1 : x_2 : \cdots : x_m = 1 : 2 : \cdots :m

即xi=2im+1x_i = \frac {2i}{m+1}，带入就好

拉格朗日乘数：

设目标函数为f(x,y)f(x,y),限制条件为φ(x,y)\varphi (x,y)

则令函数F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)F(x,y) = f(x,y) + \lambda\varphi(x,y)

其中λ\lambda称为拉格朗日乘子

对函数每个元求个偏导，解得(x0,y0,λ0)(x_0,y_0,\lambda_0),则(x0,y0)(x_0,y_0)称为该函数的驻点

这道题中

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂F(x1,⋯,xm,λ)∂x1=x22x33⋯xmm+λ=0∂F(x1,⋯,xm,λ)∂x2=2x1x2x33⋯xmm+λ=0⋮∂F(x1,⋯,xm,λ)∂xm=mx22x33⋯xm−1m+λ=0∂F(x1,⋯,xm,λ)∂λ=x1+x2+⋯+xm−m=0\begin {cases}
\frac {\partial F(x_1,\cdots,x_m,\lambda)}{\partial x_1} = x_2^2x_3^3\cdots x_m^m + \lambda = 0 \\
\frac {\partial F(x_1,\cdots,x_m,\lambda)}{\partial x_2} = 2x_1x_2x_3^3\cdots x_m^m + \lambda = 0 \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots\\
\frac {\partial F(x_1,\cdots,x_m,\lambda)}{\partial x_m} = mx_2^2x_3^3\cdots x_m^{m-1} + \lambda = 0 \\
\frac {\partial F(x_1,\cdots,x_m,\lambda)}{\partial \lambda} = x_1 + x_2 + \cdots + x_m - m = 0
\end {cases}

联立解得 xi=2im+1x_i = \frac {2i}{m+1}

偏导数不存在的点中，也可能有极值点

极值点不是最值点，可以比较极值点来得到最值点

限制条件还可以是不等式，蒟蒻表示自己不会QAQ

不过这货学来并没啥用QAQ

曾经用它来解半期考试数学题。。。（生无可恋

【答案】371048281

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