POJ 3421 X-factor Chains【分解质因子+组合数学】

X-factor Chains

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Description

Given a positive integer X, an X-factor chain of length m is a sequence of integers,

1 = X0, X1, X2, …, Xm = X

satisfying

Xi < Xi+1 and Xi | Xi+1 where a | b means a perfectly divides into b.

Now we are interested in the maximum length of X-factor chains and the number of chains of such length.

Input

The input consists of several test cases. Each contains a positive integer X (X ≤ 220).

Output

For each test case, output the maximum length and the number of such X-factors chains.

Sample Input

2
3
4
10
100

Sample Output

1 1
1 1
2 1
2 2
4 6

Source

POJ Monthly--2007.10.06, ailyanlu@zsu

题意：

给出一个数字 n ，问 n 的因子组成的满足任意前一项都能整除后一项的序列的最大长度，以及所有不同序列的个数

题解：

最直观的考虑肯定是第一位是1，随后的数进行讨论

不难发现，按题目要求的话要求序列最长，那么就要尽量使得临近的数的比值尽量小，有个理论说（忘了哪个伟人说的了），任意一个比较大的合数，都能写成若干个素数的积，也就是说，肯定能找到某个数的一个非常小的不可分割的单位（最小素因子？）。

尝试如下：

给出一个数n，那么首先找到这个数最小的素因子x，作为序列的第二个元素，然后，假如，这个x*x 依然能被n 整除，那么x*x 此时肯定是能满足题意要求的最小值，依次判断x*x*x....一直到不满足题意，但是还没完.....不一定能完全除尽，那就要考虑次大的素因子了，继续像这样一直尝试，如果最终未除尽，剩余的部分也要算上，因为这个部分乘上倒数第二项，肯定是n，也就是仍然满足题意的！

表达能力有点水，上实例：

100

1，首项 1，没什么说的

2，为了尽量长，用最小的素数（2）去分割，得到2*2*25，那么就是说，另外可以构造出两项了 2，2*2(4)

3，发现不能整除了，那么寻找100的次小的素因子，找到5，把剩下的25 分解成5*5，那么就可以再构造出两项 2*2*5(20),2*2*5*5(100)

那么最后的结果就是1,2,4,20,100，按题意，最长的可能是 4

对于6怎么来的，组合数学有一条说：

n个物体一共有k 个，m种，其中每一种对应n1,n2,n3,n4....个，那么这些物品全排列的总数目是：

n！/（n1+n2+....+nm）！

个人也不懂，怎么推出来的.....

（以上纯属个人理解，错误之处指出还请大神不吝指出）

/* http://blog.csdn.net/liuke19950717 */
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
ll x[25]={1};
for(ll i=1;i<25;++i)
{
x[i]=i*x[i-1];
}
ll n;
while(~scanf("%lld",&n))
{
ll ans=0,base=1;
for(ll i=2;i*i<=n;++i)
{
if(n%i==0)
{
ll cnt=0;
while(n%i==0)
{
++cnt;
n/=i;
}
ans+=cnt;
base*=x[cnt];
}
}
if(n>1)
{
ans+=1;
}
printf("%lld %lld\n",ans,x[ans]/base);
}
return 0;
}