并查集 (Disjoint Set)

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[b]问题：[/b]

　　在某个城市里，住着N个人，这N个人都有自己的公司，现给出N个人的M条信息(即某两个人属于同一个公司)，问这个城市最多有多少个公司。

[b]THINK：[/b]

比如给出

10 6

1 3

3 7

2 5

5 9

9 10

6 8

　　代表有10个人，6个关系，1 和 3 在一个公司里， 3 和 7 在一个公司里，2 和 5 在一个公司里， 5 和 9 在一个公司里，9 和 10 在一个公司里， 6 和 8 在一个公司里。那么1 3 7则在一个公司里，2 5 9 10在另外一个公司里，4 单独在一个公司里，6 和8 在一个公司里，则这个城市最多有 4 个公司。

　　把这个问题数学化，即有N个元素，这N个元素都属于某一个集合，给出M个关系，代表某两个元素在一个集合里，问最多有多少个集合，今天讨论的并查集算法可以很好的解决这个问题。

[b]并查集(Disjoint Set)：[/b]

　　把这N个元素初始化为N个不相交集合，在每个集合里面选择其中某个元素代表所在集合的名字。

　　常见操作：

　　1):合并两个集合;

　　2):查找某元素所在集合

　　即“并查集”。

　　具体实现:

　　用编号最小的元素的标记某个集合。

　　定义一个数组pre[1...N]，其中pre[i]代表i所在集合。

　　


　　则最后的集合为：{1， 3， 7}，{2， 5， 9， 10}，{4}, {6, 8}，第一个集合代号为 1 ，第二个集合代号为 2 ,第三个集合代号为 4 ,第四个集合代号为 6。

初始化代码:

void initPre()
{
for(int i = 1; i <= N; ++i)
pre[i] = i;
}

查找代码:

int Find(int x)
{
int r = x;
while (pre[r] != r)
r = pre[r];
return r;
}

合并代码：

void mix(int x, int y)
{
int fx = Find(x);
int fy = Find(y);
if(fx < fy)
pre[fy] = fx;
if(fx > fy)
pre[fx] = fy;
}

　　初始化代码比较容易理解，下面来解释查找代码。拿上面第二个集合来说吧，比如查找 10 在哪个集合里面，前面说过，pre[i] 代表 i 所在集合的编号，那么看pre[10]，因为pre[10] 等于 9 那么 10 在 代号为 “9” 的集合里面吗？这个显然不是，因为上面根本不存在代号为 “9” 的集合，这是为什么？之前说过用这个集合里面元素最小的数字代表这个集合的编号，则代表这个集合编号的元素的 pre[i] 一定等于 i，由于pre[9] != 9，所以继续往上找，找到了5，pre[5] != 5，那么继续向上找到 1 ，pre[1] = 1，即找到了代表 10 所在集合的编号为 “1”，这就是查找操作。

　　再来解释合并操作，比如我们要合并 8 和 10，我们先找到 8 所在集合的编号为 “6”，10 所造集合的编号为 “1”，由于 10 所在集合的编号小于 8 所在集合的编号，于是就可以让 8 所在集合的编号 “6” 改成 10 所在集合的编号 “1”，即 pre[6] = 1，于是就完成了合并操作。

　　到了这里你有没有觉得有什么不妥的地方呢？比如再次查找 10 所在的集合，是不是又得一步一步的向上查找？的确是的，可是刚才已经查找到了 10 所在的集合编号为 “1”，为什么还有查找呢？由于并没有改变 pre[10] 的值，那么每次查找都需要做这样的动作。所以当查找到10所在的集合编号为 “1” 时可以直接让pre[10] = 1。那么就这么结束了吗，还没有，由于在查找 10 的过程中还查找了 9 ，那么顺便还可以让pre[9] = 1，于是下次查询时就很省时间了，这就是所谓的路径压缩。

　　(推荐一个详解路径压缩的博客：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6662911)

含路径压缩的查找代码:

int Find(int x)
{
int r = x;
while(r != pre[r])
r = pre[r];
int i = x, j;
while(pre[i]!=r)
{
j = pre[i];
pre[i] = r;
i = j;
}
return r;
}

[b]递归压行式:[/b]

int Find(int x){ return x == pre[x] ? x : pre[x] = Find(pre[x]); }