算法学习（五）求解500万以内的亲和数，连续数据映射为数组

题目描述：

求500万以内的所有亲和数，如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a,b是一对亲和数。

真因数：除了本身以外的所有因数，

列如：220的真因数：1,2,4,5,10,11,20,22，44,55,110；

284的真因数：1,2,4,71,142.

220= 1+2+4+71+142 = sum[284]

284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = sum[220]

分析：

一个数的因数不超过它的一半，我们可以利用数组，把数作为数组下标，数组对应元素为真因数之和，然后遍历满足sum[sum[i]] = i的i，和sum[i]为一对亲和数。

首先初始化时，数组每一项都有一个1,因为1是所有数的真因数。从然后因数i从2开始到n/2，由于本身不是真因数，所以对应项从2i开始，3i,4i,5i….直到k*i>n,这些项都包含因数i。所有这些项sum[2i],sum[3i]….都要加上i。然后就可以开始遍历寻找满足亲和数条件的项。

i= 2时，sum[4]+=2,sum[6]+= 2;sum[8]+=2….

i = 3时，sum[6]+= 3;sum[9]+= 3;sum[12]+=3….

i = 4时，sum[8]+=4;sum[12] +=4…

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> Created Time: 2016年04月18日 星期一 20时36分58秒
************************************************************************/

#include<stdio.h>
#define SIZE 5000000
int main()
{
static int sum[5000001];   //大数组声明为静态，放在静态存储区
int i,j;
for(i = 1;i<= SIZE;i++)
sum[i] = 1;        //每一项都含有1
for(i = 2;i+i<=SIZE;i++)  //遍历所有因数，
{
j = 2*i;
while(j<=SIZE)  //对于因数2，循环n/2次，对于因数3，循环n/3次，总的次数为n(1/2 + 1/3+ 1/4 + 1/n/2)，总的时间复杂度为O（N* log N + N）
{
sum[j] +=i;     //包含因数的项要加上因数
j+=i;
}
}
for(i = 220;i<=SIZE;i++)
{
if(sum[i]>i && sum[i] <=SIZE&& sum[sum[i]] == i)//使用sum[i] >i可以去掉重复的，比如sum[248] = 220
{
printf("%d,%d\n",i,sum[i]);
}
}
return 0;
}

需要注意的时，大数组定义的地方，如果在函数内，分配空间都在堆栈上，堆栈是比较有限的，大的空间都是分配到静态存储区，可以放在全局或者在函数里面定义加上static。

顺便扯点别的，可编程内存分为：静态存储区，堆区和栈区

静态存储区：内存在程序编译的时候就已经分配好，这块内存在程序的整个运行期间都存在，它主要存放静态数据、全局数据和常量。

栈区：在执行函数时，函数内局部变量的存储单元都可以在栈上创建，函数执行结束时这些存储单元自动被释放。栈内存分配运算内置于处理器的指令集中，效率高，但是分配的内存 容量有限。

堆区：称动态内存分配，程序在运行的时候用malloc或new申请任意大小的内存，可以自己负责在适当的时候free或delete释放内存。动态内存的生存期可以由我们决定。

总结：连续数据的映射可以通过数组结构本身的特点替代，用来节约空间，这是数据结构的艺术，在大规模连续数据的回溯法处理上，通过转化为递推生成的方法，逆向思维操作，这是算法的艺术。