HDU 1098 Ignatius's puzzle（数学归纳题or费马小定理）

                                                  Ignatius's puzzle

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)

Total Submission(s): 8427    Accepted Submission(s): 5843

[align=left]Problem Description[/align]
Ignatius is poor at math,he falls across a puzzle problem,so he has no choice but to appeal to Eddy. this problem describes that:f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x,input a nonegative integer k(k<10000),to
find the minimal nonegative integer a,make the arbitrary integer x ,65|f(x)if

no exists that a,then print "no".


[align=left]Input[/align]
The input contains several test cases. Each test case consists of a nonegative integer k, More details in the Sample Input.

 
[align=left]Output[/align]
The output contains a string "no",if you can't find a,or you should output a line contains the a.More details in the Sample Output.

 
[align=left]Sample Input[/align]

11
100
9999

 
[align=left]Sample Output[/align]

22
no
43

题解：

题目大意：方程f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x；输入任意一个数k，是否存在一个数a，对任意x都能使得f(x)能被65整出。

现假设存在这个数a ,因为对于任意x方程都成立

所以，当x=1时f(x)=18+ka

又因为f(x)能被65整出，故设n为整数

可得，f(x)=n*65;

即：18+ka=n*65;

因为n为整数，若要方程成立

则问题转化为，

对于给定范围的a只需要验证，

是否存在一个a使得(18+k*a)%65==0

所以容易解得

注意，这里a只需到65即可

因为，当a==66时

也就相当于已经找了一个周期了，所以再找下去也找不到适当的a了

如果你非要证明的话，可以利用了取模过程与数的运算的次序上可交换原理简单证明一下

本身看看就知道，这里就不证了。。

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MA 10010
int main()
{
int n,i,k;
while(~scanf("%d",&k))
{
for(i=1;i<=65;i++)
{
if((18+i*k)%65==0)
{
printf("%d\n",i);
break;
}
}
if(i>=66)
printf("no\n");
}

return 0;
}

第二AC： 费马小定理

#include <cstdio>
int main()
{
int k,flag;
while (scanf("%d",&k)!=EOF)
{
flag=0;
for (int i=1;i<=65;i++)
{
if (i*k%13==8&&i*k%5==2)
{
flag=i;
break;
}
}
if (flag)
{
printf("%d\n",flag);
}
else
{
printf("no\n");
}
}
}

这一题是一个好题，涉及到费马小定理！

什么是费马小定理呢？

费马小定理（Fermat Theory）是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且Gcd(a,p)=1，那么
a(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。该定理是1636年皮埃尔·德·费马发现的。

所以我们要做的就是把这一题与费马小定理联系起来！

f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x转化成f(x)=(5*x^12+13*x^4+k*a)*x

1.当x=65的倍数时就行了；

2.当x=5的倍数时则需要（5*x^12+k*a）是13的倍数，由费马小定理可知，因为x是5的倍数所以（x^(13-1)%13==1）,所以（5*x^12%13==5），所以只需要做到k*a%13==8即可！

3.同理可得当x=13的倍数时，只需要做到（13*x^4+k*a)是5的倍数由费马小定理可知，因为x是5的倍数所以（x^(5-1)%5==1）,所以（13*x^(5-1)%5==3），所以只需要做到k*a%5==2即可

4.当x不是上面的特殊数时，则需要f(x)=(5*x^12+13*x^4+k*a)*x被65整除，也就是需要同时满足上面那两个条件！