快速求正整数次幂
2016-04-18 10:43
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快速求正整数次幂,当然不能直接死乘。举个例子:
3 ^ 999 = 3 * 3 * 3 * … * 3
直接乘要做998次乘法。但事实上可以这样做,先求出2^k次幂:
3 ^ 2 = 3 * 3
3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2)
3 ^ 8 = (3 ^ 4) * (3 ^ 4)
3 ^ 16 = (3 ^ 8) * (3 ^ 8)
3 ^ 32 = (3 ^ 16) * (3 ^ 16)
3 ^ 64 = (3 ^ 32) * (3 ^ 32)
3 ^ 128 = (3 ^ 64) * (3 ^ 64)
3 ^ 256 = (3 ^ 128) * (3 ^ 128)
3 ^ 512 = (3 ^ 256) * (3 ^ 256)
再相乘:
3 ^ 999
= 3 ^ (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1)
= (3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4) * (3 ^ 2) * 3
这样只要做16次乘法。即使加上一些辅助的存储和运算,也比直接乘高效得多(尤其如果这里底数是成百上千位的大数字的话)。
我们发现,把999转为2进制数:1111100111,其各位就是要乘的数。这提示我们利用求二进制位的算法(其中mod是模运算):
REVERSE_BINARY(n)
1 while (n > 0)
2 do output (n mod 2)
3 n ← n / 2
这个算法给出正整数n的反向二制进位,如6就给出011(6的二进制表示为110)。事实上这个算法对任意的p进制数是通用的,只要把其中的2换成p就可以了。
如何把它改编为求幂运算?我们发现这个算法是从低位向高位做的,而恰好我们求幂也想从低次幂向高次幂计算(参看前面的例子)。而且我们知道前面求出的每个2^k次幂只参与一次乘法运算,这就提示我们并不把所有的中间结果保存下来,而是在计算出它们后就立即运算。于是,我们要做的就是把输出语句改为要做的乘法运算,并在n减少的同时不断地累积求2^k次幂。
还是看算法吧:
POWER_INTEGER(x, n)
1 pow ← 1
2 while (n > 0)
3 do if (n mod 2 = 1)
4 then pow ← pow * x
5 x ← x * x
6 n ← n / 2
7 return pow
不难看出这个算法与前面算法的关系。在第1步给出结果的初值1,在while循环内进行运算。3、4中的if语句就来自REVERSE_BINARY的输出语句,不过改成了如果是1则向pow中乘。5句则是不断地计算x的2^k次幂,如对前面的例子就是计算2^2、2^4、2^8、…、2^512。
应该指出,POWER_INTEGER比前面分析的要再多做两次乘法,一次是向pow中第一次乘x,如2^1也要进行这个乘法;另一次则是在算法的最后,n除以2后该跳出循环,而前面一次x的自乘就浪费掉了(也可以考虑改变循环模式优化掉它)。另外,每趟while循环都要进行一次除法和一次模运算,这多数情况下除法和模运算都比乘法慢许多,不过好在我们往往可以用位运算来代替它。
c++代码:
快速求正整数次幂,当然不能直接死乘。举个例子:
3 ^ 999 = 3 * 3 * 3 * … * 3
直接乘要做998次乘法。但事实上可以这样做,先求出2^k次幂:
3 ^ 2 = 3 * 3
3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2)
3 ^ 8 = (3 ^ 4) * (3 ^ 4)
3 ^ 16 = (3 ^ 8) * (3 ^ 8)
3 ^ 32 = (3 ^ 16) * (3 ^ 16)
3 ^ 64 = (3 ^ 32) * (3 ^ 32)
3 ^ 128 = (3 ^ 64) * (3 ^ 64)
3 ^ 256 = (3 ^ 128) * (3 ^ 128)
3 ^ 512 = (3 ^ 256) * (3 ^ 256)
再相乘:
3 ^ 999
= 3 ^ (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1)
= (3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4) * (3 ^ 2) * 3
这样只要做16次乘法。即使加上一些辅助的存储和运算,也比直接乘高效得多(尤其如果这里底数是成百上千位的大数字的话)。
我们发现,把999转为2进制数:1111100111,其各位就是要乘的数。这提示我们利用求二进制位的算法(其中mod是模运算):
REVERSE_BINARY(n)
1 while (n > 0)
2 do output (n mod 2)
3 n ← n / 2
这个算法给出正整数n的反向二制进位,如6就给出011(6的二进制表示为110)。事实上这个算法对任意的p进制数是通用的,只要把其中的2换成p就可以了。
如何把它改编为求幂运算?我们发现这个算法是从低位向高位做的,而恰好我们求幂也想从低次幂向高次幂计算(参看前面的例子)。而且我们知道前面求出的每个2^k次幂只参与一次乘法运算,这就提示我们并不把所有的中间结果保存下来,而是在计算出它们后就立即运算。于是,我们要做的就是把输出语句改为要做的乘法运算,并在n减少的同时不断地累积求2^k次幂。
还是看算法吧:
POWER_INTEGER(x, n)
1 pow ← 1
2 while (n > 0)
3 do if (n mod 2 = 1)
4 then pow ← pow * x
5 x ← x * x
6 n ← n / 2
7 return pow
不难看出这个算法与前面算法的关系。在第1步给出结果的初值1,在while循环内进行运算。3、4中的if语句就来自REVERSE_BINARY的输出语句,不过改成了如果是1则向pow中乘。5句则是不断地计算x的2^k次幂,如对前面的例子就是计算2^2、2^4、2^8、…、2^512。
应该指出,POWER_INTEGER比前面分析的要再多做两次乘法,一次是向pow中第一次乘x,如2^1也要进行这个乘法;另一次则是在算法的最后,n除以2后该跳出循环,而前面一次x的自乘就浪费掉了(也可以考虑改变循环模式优化掉它)。另外,每趟while循环都要进行一次除法和一次模运算,这多数情况下除法和模运算都比乘法慢许多,不过好在我们往往可以用位运算来代替它。
c++代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; int fuck(int a,int n) { int num=1; if(n==0) return 1; else { while(n>0) { if(n%2==1) // (n&1) == (n%2==1) 用运算感觉要快一些。 { num*=a; } a*=a; n>>1; //(n/=2)==(n>>1) 同理。 } return num; } } int main() { printf("%d\n",fuck(2,4)); return 0; }
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