算法导论 思考题 2-4

题目:

求逆序对

解答:

a) 列出数组<2，3，8，6，1> 的五个逆序对

<8，6 > <8，1 > <6，1 > <3，1 > <2，1 >

b） 如果数组的元素取自集合{1，2，3，4，......，n}\{1，2，3，4，......，n\} 怎样的数组还有最多的逆序对，它包含多少个逆序对

逆序序列 {n，n−1，n−2，n−3，......，1}\{ n，n-1，n-2，n-3，......，1\} 含有(n−1)n/2(n-1)n/2 个逆序对

c） 插入排序的运行时间与输入数组中逆序对的数量之间有怎样的关系?

仔细观察会发现实际上，计算逆序对就是插入排序的比较过程，所以数量级一样，但是不用移动元素，具体时间会短些

d） 在 Θ(nlgn)\Theta(nlgn) 的最坏情况运行时间，确定n个元素任何排列中的逆序对数目

有了提示后这个题就很简单了，归并排序过程中每次将两个子序列归并成一个子序列的过程中，如果左边的序列当指针指向的元素大于右边的指针指向的元素，计数就自增，归并完成后就是你序列数目。

原理也很简单，逆序列就是左边比右边大的数据对，而归并排序正是把这样的数据对调整过来的过程，其实不仅仅是这样，这里可以思考另一个过程，如果我们把归并换成快排，快排的每次排序也是把左大右小的数据对调整过来，实际上基于比较的排序都是这样，但是快排是错误的比如序列{4，3，2，1}\{4，3，2，1\}就明显不对，其实问题就出在快排每趟排序会破坏原序列的整体关系，比如第一趟排序过后会变成{1，3，2，4}\{1，3，2，4\} 这里破坏了1和2，3的逆序关系，而归并排序恰恰有从局部开始，不破坏整体关系的优点

所以归并排序的正确性就在于：1 正好是调整逆序数对的过程，2 不破坏数列的整体关系