浅谈单调队列优化dp
2016-04-17 19:16
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单调队列,即单调的队列。有时用于优化1D/1D方程。
例如
第二行有n个数,要求在n个数找到最大子序和
输出
备注
数据范围:
100%满足n,m<=300000
如果不明白这个方程的来历,戳这里
由于方程是1D/1D的,所以我们不想只得出简单的Θ(n^2)算法。不难发现,此优化的难点是计算
单调队列(Monotone queue)是一种特殊的优先队列,提供了两个操作:插入,查询最小值(最大值)。它的特殊之处在于它插入的不是值,而是一个指针(key)(wiki原文:imposes the restriction that a key (item) may only be inserted if its priority is greater than that of the last key extracted from the queue)。所谓单调,指当一组数据的指针1..n(优先级为A1..An)插入单调队列Q时,队列中的指针是单调递增的,队列中指针的优先级也是单调的。因为这里要维护优先级的最小值,那么队列是单调减的,也说队列是单调减的。
如果队列已空或队头的优先级比Ai大,删除队头元素。
否则将i插入队头
比如说,一个优先队列已经有优先级分别为
因为2 < 5,删除队头,
因为2 < 3,删除队头,
因为2 > -2,插入队头,
证明优先级的单调减:由于每次将优先级比Ai大的删除,只要原队列优先级是单调的,新队列一定是单调的。用循环不变式易证正确性。
为什么删除队头:直观的,指针比i小(靠左)而优先级比Ai大的数据没有希望成为任何一个需要的子序列中的最小值。这一点是我们使用优先队列的根本原因。
在这里,A = sum。对于f(i),我们需要的其实是Ai-M .. Ai的最小值,而不是所有已插入数据的最小值(A1..Ai-1)。所以必须维护区间大小,使队列中的元素严格处于Ai-M..Ai-1这一区间,或者说删去哪些A中过于靠前而违反题目条件的值。由于队列中指针是单调的,也就是靠左的指针大于靠右的,或者说在优先队列中靠左的值,在A中一定靠后;优先队列中靠右的值,在A中一定靠前。我们想要删除过于靠前的,只需要在优先队列中从右一直删除,直到最右边(队尾)的值符合条件。具体地:当队头指针p满足i-m≤p时。
形象地说,就是忍痛割爱删去哪些较好但是不符合题目限制的数据。
的动态规划问题。
参考资料:百度百科,wiki
感谢这两位优美的一问一答:
http://zhidao.baidu.com/link?url=uQuBcPkzFeA_xoxxzKwNCXbdlmihh4ema-RUQwlcdhZ7oDzR9awb2Ec4tjudlYzyyOOpYlaQTGYntLVDDwe5-q
例题 Tyvj1305
时间: 1000ms / 空间: 131072KiB / Java类名: Main描述
输入一个长度为n的整数序列,从中找出一段不超过M的连续子序列,使得整个序列的和最大。例如
1,-3,5,1,-2,3 当m=4时,S=5+1-2+3=7 当m=2或m=3时,S=5+1=6
输入格式
第一行两个数n,m第二行有n个数,要求在n个数找到最大子序和
输出格式
一个数,数出他们的最大子序和测试样例
输入6 4 1 -3 5 1 -2 3
输出
7
备注
数据范围:
100%满足n,m<=300000
分析
这是一个典型的动态规划题目,不难得出一个1D/1D方程:f(i) = sum[i]-min{sum[k]|i-M≤k≤i}
如果不明白这个方程的来历,戳这里
由于方程是1D/1D的,所以我们不想只得出简单的Θ(n^2)算法。不难发现,此优化的难点是计算
min{sum[i-M]..sum[i-1]}。在上面的链接中,我们成功的用Θ(nlgn)的算法解决了这个问题。但如果数据范围进一步扩大,运用st表解决就力不从心了。所以我们需要一种更高效的方法,即可以在Θ(n)的摊还时间内解决问题的单调队列。
单调队列(Monotone queue)是一种特殊的优先队列,提供了两个操作:插入,查询最小值(最大值)。它的特殊之处在于它插入的不是值,而是一个指针(key)(wiki原文:imposes the restriction that a key (item) may only be inserted if its priority is greater than that of the last key extracted from the queue)。所谓单调,指当一组数据的指针1..n(优先级为A1..An)插入单调队列Q时,队列中的指针是单调递增的,队列中指针的优先级也是单调的。因为这里要维护优先级的最小值,那么队列是单调减的,也说队列是单调减的。
查询最小值
由于优先级是单调减的,所以最小值一定是队尾元素。直接取队尾即可。插入操作
当一个数据指针i(优先级为Ai)插入单调队列Q时,方法如下:如果队列已空或队头的优先级比Ai大,删除队头元素。
否则将i插入队头
比如说,一个优先队列已经有优先级分别为
{5,3,-2}的三个元素,插入一个新元素,优先级为2,操作如下:
因为2 < 5,删除队头,
{3,-2}
因为2 < 3,删除队头,
{-2}
因为2 > -2,插入队头,
{2,-2}
证明性质可以得到维护
证明指针的单调减 :由于插入指针i一定比已经在队列中所有元素大,所以指针是单调减的。证明优先级的单调减:由于每次将优先级比Ai大的删除,只要原队列优先级是单调的,新队列一定是单调的。用循环不变式易证正确性。
为什么删除队头:直观的,指针比i小(靠左)而优先级比Ai大的数据没有希望成为任何一个需要的子序列中的最小值。这一点是我们使用优先队列的根本原因。
维护区间大小
当一串数据A1..Ak插入时,得到的最小值是A1..Ak的最小值。反观dp方程:f(i) = sum[i]-min{sum[k]|i-M≤k≤i}
在这里,A = sum。对于f(i),我们需要的其实是Ai-M .. Ai的最小值,而不是所有已插入数据的最小值(A1..Ai-1)。所以必须维护区间大小,使队列中的元素严格处于Ai-M..Ai-1这一区间,或者说删去哪些A中过于靠前而违反题目条件的值。由于队列中指针是单调的,也就是靠左的指针大于靠右的,或者说在优先队列中靠左的值,在A中一定靠后;优先队列中靠右的值,在A中一定靠前。我们想要删除过于靠前的,只需要在优先队列中从右一直删除,直到最右边(队尾)的值符合条件。具体地:当队头指针p满足i-m≤p时。
形象地说,就是忍痛割爱删去哪些较好但是不符合题目限制的数据。
解决问题
这里用std::list表示队列,直接按照上面的方法查询最小值,然后根据方程,f(k) = s[i] - s[queue.back()]。直接给出代码:
#include <iostream> #include <list> #include <cstdio> using namespace std; int n, m; long long s[300005]; // 前缀和 list<int> queue; // 链表做单调队列 int main() { cin >> n >> m; s[0] = 0; for (int i=1; i<=n; i++) { cin >> s[i]; s[i] += s[i-1]; } long long maxx = 0; for (int i=1; i<=n; i++) { while (!queue.empty() and s[queue.front()] > s[i]) queue.pop_front(); // 保持单调性 queue.push_front(i); // 插入当前数据 while (!queue.empty() and i-m > queue.back()) queue.pop_back(); // 维护区间大小,使i-m >= queue.back() if (i > 1) maxx = max(maxx, s[i] - s[queue.back()]); else maxx = max(maxx, s[i]); // 更新最值 } cout << maxx << endl; return 0; }
分析时间复杂度
运用聚合分析,由于一个元素最多进队一次,出队一次,while循环总共最多运行Θ(2n)=Θ(n)次,所以算法的摊还效率是Θ(n)。通过单调队列,实现了在线性复杂度内解决形如:f[x] = max or min{g(k) | b[x] <= k < x} + w[x] 其中b[x]随x单调不降,即b[1]<=b[2]<=b[3]<=...<=b g[k]表示一个和k或f[k]有关的函数,w[x]表示一个和x有关的函数
的动态规划问题。
参考资料:百度百科,wiki
感谢这两位优美的一问一答:
http://zhidao.baidu.com/link?url=uQuBcPkzFeA_xoxxzKwNCXbdlmihh4ema-RUQwlcdhZ7oDzR9awb2Ec4tjudlYzyyOOpYlaQTGYntLVDDwe5-q
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