bzoj 3684: 大朋友和多叉树 生成函数

关于生成函数，可以见金策爷的课件。

设F为多叉树的生成函数，第n项表示根权值为n时的方案数；C为儿子的生成函数，那么有：

F(x)=Σi∈(S)F(x)^i+x，也就是F(x)=C(F(x))+x，移项得到F(x)-C(F(x))=x，那么令G(x)=x-C(x)，就有：G(F(x))=x，因此F(x)是G(x)的复合逆。然后运用拉格朗日反演：

[x^n]F(x)=1/n(x^(n-1))(x/G(x))^n。。证明课件里面也没有讲QAQ。

就变成求逆和求多项式的n次了。。。前面的用多项式求逆，后面的可以拆成epx(ln(x/G(x))*n)，具体课件里有。

然后就变成抄代码时间辣T_T。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define mod 950009857
#define N 270005
using namespace std;

int f
,g
,c
,h
,q
,inv
,pos
,na
;
int ksm(int x,int y){
int t=1; for (; y; y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if (y&1) t=(ll)t*x%mod;
return t;
}
void getpos(int n){
int cnt=0,i,j,k;
for (k=1; k<n; k<<=1) cnt++;
for (i=0; i<n; i++){
k=i; pos[i]=0;
for (j=1; j<=cnt; j++,k>>=1) pos[i]=pos[i]<<1|(k&1);
}
}
void fnt(int *a,int n,int p){
int i,j,k,w,wn,u,v;
//for (i=0; i<n; i++) cout<<a[i]<<' '; puts("");
for (i=0; i<n; i++) na[pos[i]]=a[i]; memcpy(a,na,sizeof(a[0])*n);
for (k=1; k<n; k<<=1){
wn=ksm(7,(ll)((mod-1)>>1)/k*p%(mod-1));
for (i=0; i<n; i+=(k<<1)){
w=1;
for (j=i; j<i+k; j++,w=(ll)w*wn%mod){
u=a[j]; v=(ll)a[j+k]*w%mod;
a[j]=(u+v)%mod; a[j+k]=(u+mod-v)%mod;
}
}
}
//for (i=0; i<n; i++) cout<<a[i]<<' ';puts("");puts("");
if (p+2==mod)
for (i=0; i<n; i++) a[i]=(ll)a[i]*inv
%mod;
}
void solve_inv(int *a,int *b,int n){
if (n==1){ b[0]=ksm(a[0],mod-2); return; }
solve_inv(a,b,n>>1); int i;
memcpy(c,a,sizeof(a[0])*n); memset(c+n,0,sizeof(c[0])*n);
getpos(n<<1);
fnt(b,n<<1,1); fnt(c,n<<1,1);
for (i=0; i<(n<<1); i++) b[i]=(ll)b[i]*(2-(ll)b[i]*c[i]%mod+mod)%mod;
fnt(b,n<<1,mod-2); memset(b+n,0,sizeof(b[0])*n);
}
void solve_ln(int *a,int *b,int n){
memset(q,0,sizeof(q[0])*(n<<1)); solve_inv(a,q,n);
memset(c,0,sizeof(c[0])*(n<<1)); int i;
for (i=0; i+1<n; i++) c[i]=(ll)a[i+1]*(i+1)%mod;
getpos(n<<1);
fnt(q,n<<1,1); fnt(c,n<<1,1);
for (i=0; i<(n<<1); i++) b[i]=(ll)q[i]*c[i]%mod;
fnt(b,n<<1,mod-2);
for (i=n-1; i; i--) b[i]=(ll)b[i-1]*inv[i]%mod; b[0]=0;
memset(b+n,0,sizeof(b[0])*n);
}
void solve_exp(int *a,int *b,int n){
if (n==1){ b[0]=1; return; }
solve_exp(a,b,n>>1); int i;
memset(h,0,sizeof(h[0])*(n<<1)); solve_ln(b,h,n);
for (i=0; i<n; i++) h[i]=(a[i]-h[i]+mod)%mod; h[0]=(h[0]+1)%mod;
getpos(n<<1);
fnt(b,n<<1,1); fnt(h,n<<1,1);
for (i=0; i<(n<<1); i++) b[i]=(ll)b[i]*h[i]%mod;
fnt(b,n<<1,mod-2); memset(b+n,0,sizeof(b[0])*n);
}
int main(){
int i,x,n,len,m; scanf("%d%d",&len,&m);
for (i=1; i<=m; i++){
scanf("%d",&x); f[x-1]=mod-1;
}
f[0]=inv[1]=n=1;
while (n<=len) n<<=1;
for (i=2; i<=(n<<1); i++) inv[i]=mod-(ll)inv[mod%i]*(mod/i)%mod;
solve_inv(f,g,n);
memset(f,0,sizeof(f)); solve_ln(g,f,n);
for (i=0; i<n; i++) f[i]=(ll)f[i]*len%mod;
memset(g,0,sizeof(g)); solve_exp(f,g,n);
printf("%d\n",(ll)g[len-1]*ksm(len,mod-2)%mod);
return 0;
}

by lych
2016.4.17