Kruskal算法（贪心+并查集=最小生成树）

http://www.51nod.com/

Kruskal算法的高效实现需要一种称作并查集的结构。我们在这里不介绍并查集，只介绍Kruskal算法的基本思想和证明，实现留在以后讨论。

Kruskal算法的过程：

（1） 将全部边按照权值由小到大排序。

（2） 按顺序（边权由小到大的顺序）考虑每条边，只要这条边和我们已经选择的边不构成圈，就保留这条边，否则放弃这条边。

算法 成功选择(n-1)条边后，形成一个棵最小生成树，当然如果算法无法选择出(n-1)条边，则说明原图不连通。



以下图为例：



边排序后为：

1　AF 1
2　DE 4
3　BD 5
4　BC 6
5　CD 10
6　BF 11
7　DF 14
8　AE 16
9　AB 17
10　EF 33

算法处理过程如下：



处理边AF，点A与点F不在同一个集合里，选中AF。



处理边DE，点D与点E不在同一个集合里，选中DE



处理边BD，点B与点D不在同一个集合里，选中BD



处理边BC，点B与点C不在同一个集合里，选中BC



处理边CD，点C与点D在同一个集合里，放弃CD。

处理边BF，点B与点F不在同一个集合里，选中BF。

至此，所有的点都连在了一起，剩下的边DF，AE，AB，EF不用继续处理了，算法执行结束。

Kruskal算法的证明。假设图连通，我们证明Krusal算法得到一棵最小生成树。我们假设Kruskal算法得到的树是K (注意我们已经假设Kruskal算法一定可以得到生成树)。假设T是一棵最小生成树，并且K ≠T, K中显然至少有一条边。我们找到在K中，而不在T中最小权值的边e。

把e加入T中，则形成一个圈，删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。

f的存在性，如果全里面所有的边都在K中，则K包含圈，矛盾。

考虑边权值关系：

（1） 若w(f) > w(e), 则T’的权值和小于T的权值和，与T是最小生成树矛盾。

（2） 若w(f) < w(e), 说明Kruskal算法在考虑加入e之前先考虑了边f，之所以没加入f是因为f和之前加入的边形成圈，之前加入的边权值显然不超过w(f) (因为加边是从小到大的顺序加入的)，所以之前加入的边权值一定小于w(e)。而根据e的定义，K中权值小于w(e)的边都在T中，这说明T中的边会和f构成圈，矛盾。

所以只能w(f) = w(e)。T’仍然是最小生成树，而T’和K相同的边多了一条。

这样下去有限步之后，最终可以把T变为K，从而K也是最小生成树。

最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。

输入

第1行：2个数N,M中间用空格分隔，N为点的数量，M为边的数量。（2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000)
第2 - M + 1行：每行3个数S E W，分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N，1 <= W <= 10000)

输出

输出最小生成树的所有边的权值之和。

输入示例

9 14
1 2 4
2 3 8
3 4 7
4 5 9
5 6 10
6 7 2
7 8 1
8 9 7
2 8 11
3 9 2
7 9 6
3 6 4
4 6 14
1 8 8

输出示例

37

请选取你熟悉的语言，并在下面的代码框中完成你的程序，注意数据范围，最终结果会造成Int32溢出，这样会输出错误的答案。

不同语言如何处理输入输出，请查看下面的语言说明。
使用并查集和贪心思想。适合稀疏图。

Kruskal算法实现：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
int parent[10];
int n,m;
int i,j;

struct edge{
int u,v,w; //边的顶点，权值
}edges[10];

//初始化并查集
void UFset(){
for(i=1; i<=n; i++) parent[i] = -1;
}

//查找i的跟
int find(int i){
int temp;
//查找位置
for(temp = i; parent[temp] >= 0; temp = parent[temp]);
//压缩路径
while(temp != i){
int t = parent[i];
parent[i] = temp;
i = t;
}
return temp;
}
//合并两个元素a,b
void merge(int a,int b){
int r1 = find(a);
int r2 = find(b);
int tmp = parent[r1] + parent[r2]; //两个集合节点数的和
if(parent[r1] > parent[r2]){
parent[r1] = r2;
parent[r2] = tmp;
}else{
parent[r2] = r1;
parent[r1] = tmp;
}
}

void kruskal(){
int sumWeight = 0;
int num = 0;
int u,v;
UFset();
for(int i=0; i<m; i++)
{
u = edges[i].u;
v = edges[i].v;

if(find(u) != find(v)){ //u和v不在一个集合
printf("加入边：%d %d,权值： %d\n", u,v,edges[i].w);
sumWeight += edges[i].w;
num ++;
merge(u, v); //把这两个边加入一个集合。
}
}
printf("weight of MST is %d \n", sumWeight);
}

//比较函数，用户排序
int cmp(const void * a, const void * b){
edge * e1 = (edge *)a;
edge * e2 = (edge *)b;
return e1->w - e2->w;
}

int main() {

scanf("%d %d", &n, &m);
for(i=0; i<m; i++){
scanf("%d %d %d", &edges[i].u,  &edges[i].v,  &edges[i].w);
}
qsort(edges, m, sizeof(edge), cmp);

kruskal();

return 0;
}
/*
测试数据：
7 9
1 2 28
1 6 10
2 3 16
2 7 14
3 4 12
4 5 22
4 7 18
5 6 25
5 7 24
输出：
加入边：1 6,权值： 10
加入边：3 4,权值： 12
加入边：2 7,权值： 14
加入边：2 3,权值： 16
加入边：4 5,权值： 22
加入边：5 6,权值： 25
weight of MST is 99   */