模板--判断两线段是否相交

题目链接：

POJ 1127 Jack Straws

题意：

已知n条木棍的起点和终点坐标，问第i条木棍和第j条木棍是否相连？当两条木棍之间有公共点时，就认为他们时相连的。通过相连的木棍

间接的连在一起的两根木棍也认为时相连的。

分析：

木棍就是二维平面上的线段，只要能判断线段是否相交，那么建图后可以通过Floyd算法或者并查集进行连接性判断。

如何判断两条线段是否相交呢？首先会想到计算两条直线的交点，然后判断焦点是否在线段上。那么两条直线的交点如何求得呢？虽然可以把直线表示成方程，通过建立方程组求解。但在几何问题中，运用向量的内积和外积进行计算是非常方便的。

对于二维向量p1=(x1,y1)和p2=(x2,y2),我们定义

内积p1⋅p2=x1∗x2+y1∗y2，

外积p1Xp2=x1∗y2−x2∗y1.

要判断点q是否在线段p1−p2上，只要

先利用外积根据是否有

(p1−q)X(p2−q)==0来判断点q是否在直线p1−p2上，

再利用内积根据是否有

(p1−q)⋅(p2−q)<=0来判断点q是否落在p1−p2之间。

而要求两直线的交点，通过变量t将直线p1−p2上的点表示为p1+t(p2−p1)，交点又在直线q1−q2上，所以有:

(q2-q1)X(p1+(p2-p1)-q1)==0

于是可以利用下式求得t的值:

p1+(p2-p1)*((q2-q1)X(q1-p1)/(q2-q1)X(p2-p1)).

但是使用这个方法还要注意边界情况。也就是平行的线段也可能有公共点。这是我们可以选择通过检查端点是否在另一条线段上来判断。

以上摘自《挑战程序设计竞赛》

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <climits>
#include <string>
using namespace std;
double EPS=1e-10;
const int MAX_N=20;

int n;
bool connected[MAX_N][MAX_N];
int pre[MAX_N];

//考虑误差的加法运算
double add(double a,double b)
{
if(abs(a+b)<EPS*(abs(a)+abs(b))) return 0;
return a+b;
}

struct Point {
double x,y;
Point() {}
Point(double x,double y):x(x),y(y){
}
Point operator + (const Point& rhs) const {
return Point(add(x,rhs.x),add(y,rhs.y));
}
Point operator - (const Point& rhs) const {
return Point(add(x,-rhs.x),add(y,-rhs.y));
}
Point operator * (const double d) const {
return Point(x*d,y*d);
}
double dot(const Point& rhs) const { //内积
return add(x*rhs.x,y*rhs.y);
}
double cross(const Point& rhs) const { //外积
return add(x*rhs.y,-y*rhs.x);
}
}st[MAX_N],ed[MAX_N];//st[i],ed[i]分别是第i条线段的起点和终点

//判断点q是否在线段p1-p2上
bool on_seg(Point p1,Point p2,Point q)
{
return (p1-q).cross(p2-q)==0&&(p1-q).dot(p2-q)<=0;
}

//计算直线p1-p2与直线q1-q2的交点
Point intersection(Point p1,Point p2,Point q1,Point q2)
{
return p1+(p2-p1)*((q2-q1).cross(q1-p1)/(q2-q1).cross(p2-p1));
}

//Floyd_Warshall算法判断任意两条木棍是否相连
void Floyd_Warshall()
{
for(int k=0;k<n;k++){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
connected[i][j] |= connected[i][k]&&connected[k][j];
}
}
}
}

int find(int x)
{
return pre[x]==x?x:pre[x]=find(pre[x]);
}

//并查集判断任意两条木棍是否相连
void UnionFindSet()
{
for(int i=0;i<n;i++) pre[i]=i;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=i+1;j<n;j++){
if(connected[i][j]&&find(i)!=find(j)){
pre[j]=i;
}
}
}
}

void solve()
{
for(int i=0;i<n;i++){
connected[i][i]=true;
for(int j=0;j<i;j++){//判断木棍i和j是否有公共点
if((st[i]-ed[i]).cross(st[j]-ed[j])==0){//木棍平行时
connected[i][j]=connected[j][i]=on_seg(st[i],ed[i],st[j])
|| on_seg(st[i],ed[i],ed[j])
|| on_seg(st[j],ed[j],st[i])
|| on_seg(st[j],ed[j],ed[i]);
} else {// 不平行时
Point inter=intersection(st[i],ed[i],st[j],ed[j]);
connected[i][j]=connected[j][i]=on_seg(st[i],ed[i],inter)&&on_seg(st[j],ed[j],inter);
}
}
}
Floyd_Warshall();
UnionFindSet();
}

int main()
{
while(~scanf("%d",&n)&&n){
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%lf%lf%lf%lf",&st[i].x,&st[i].y,&ed[i].x,&ed[i].y);
}
solve();
int a,b;
while(~scanf("%d%d",&a,&b)&&(a||b)){
//if(connected[a-1][b-1]) printf("CONNECTED\n");
if(find(a-1)==find(b-1)) printf("CONNECTED\n");
else printf("NOT CONNECTED\n");
}
}
return 0;
}