算法（读书笔记）：4.3最小生成树

加权图是一种为每条边关联一个权值或是成本的图模型。

最小生成树。给定一副加权无向图，找出它的一颗最小生成树。

定义：图的最小生成树是它的一副含有其所有顶点的无环连通子图。一副加权图的最小生成树（MST）是它的一颗权值（树种所有边的权值之和）最小的生成树。

一些约定：

1.只考虑连通图

2.边的权重不一定代表距离

3.边的权重可能是0或者负数

4.所有边的权重都各不相同。如果不同边的权重可以相同，最小生成树就不一定唯一了。存在多颗最小生成树的可能性会使部分算法的证明变得更加复杂。

命题J（切分定理）：在一副加权图中，给定任意的切分，它的横切边中的权重最小者必然属于图中的最小生成树。

切分定理是解决最小生成树问题的所有算法的基础。更确切的说，这些算法都是贪心算法的特殊情况：使用切分定理找到最小生成树的一条边，不断重复直到找到最小生成树的所有边。

命题K（最小生成树的贪心算法）：将含有V个顶点的任意加权连通图中属于最小生成树的边标记为黑色：初始状态下所有边均为灰色，找到一种切分，它产生的横切边均不为黑色。将它权重最小的横切边标记为黑色。反复，直到标记了V-1条黑色边为止。