LCS最长公共子序列

参考博文/article/2783191.html

问题描述

给定两个字符串A和B，求出他们之间最长的公共子序列。

定义子序列：令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列

问题分析

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

根据上述分析，可以得到如下的动态规划递推公式，其中i代表A下标，j代表B的下标

matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1] + 1,  if (a[i]==b[j])
matrix[i][j] = matrix[i-1][j],  if (a[i]!=b[j]) && matrix[i-1][j]>matrix[i][j-1]
matrix[i][j] = matrix[i][j-1],  if (a[i]!=b[j]) && matrix[i][j-1]>matrix[i-1][j]

输出路径

path[i][j] = lefttop,   if (a[i]==b[j])
path[i][j] = left],  if (a[i]!=b[j]) && matrix[i-1][j]>matrix[i][j-1]
path[i][j] = top,  if (a[i]!=b[j]) && matrix[i][j-1]>matrix[i-1][j]

示例

代码

public class LCS {
private static final char lefttop = '0';
private static final char top = '1';
private static final char left = '2';

public static String getMaxSequence(String a,String b) {
int len1 = a.length(), len2 = b.length();
int[][] matrix = new int[len1+1][len2+1];
char[][] path = new char[len1+1][len2+1];

for (int i=1;i<=len1;i++) {
for (int j=1;j<=len2;j++) {
if (a.charAt(i-1)==b.charAt(j-1)) {
matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1]+1;
path[i][j] = lefttop;
} else if (matrix[i-1][j]>matrix[i][j-1]) {
matrix[i][j] = matrix[i-1][j];
path[i][j] = top;
} else {
matrix[i][j] = matrix[i][j-1];
path[i][j] = left;
}
}
}
int i = len1, j = len2;
StringBuilder sb = new StringBuilder();
while (!(i==0||j==0)) {
char ch = path[i][j];
switch (ch) {
case lefttop:
sb.append(a.charAt(i-1));
i--;
j--;
break;
case left:
j--;
break;
case top:
i--;
break;
}
}
return sb.reverse().toString();
}

public static void main(String[] args) {
String a = "abcbdab";
String b = "bdcaba";
System.out.println(getMaxSequence(a,b));
}

}

代码链接https://github.com/lincolnmi/algorithms/blob/master/src/StringAlgorithm/LCS/LCS.java