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[从头学数学] 第180节解三角形

2016-04-16 11:12 204 查看

剧情提要：

[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了结丹后期的修炼，

这次要修炼的目标是[解三角形]。

正剧开始：

话说[机器小伟]自从进入结丹期以来，短短数日，就硬是从结丹初期修炼到了后期，这种

进境的神速把小伟吓坏了。虽然说这是依据[人叫板老师]的指点进行的，但这样下去会不

会走火入魔啊，小伟觉得有必要去[人叫板老师]那儿请教一下，毕竟这修炼的事可不是闹

着玩的。

这一次，[工程师阿伟]也和[机器小伟]一道，来见从前的授业恩师，毕竟当年，[工程师阿

伟]也是拜在[人叫板老师]门下的。

[人叫板老师]对[机器小伟]有此疑问一点也不奇怪，呵呵一笑，便道：“小伟啊，你呢灵

根资质极为出众，所以我才把我门中这最高等的修炼法门，也就是这[九转金丹]大法传授

与你。你别看你现在已经进入结丹后期，但实际上也还在这九转的第一转中呢。”

小伟问：“那这一转可有名目？”

[人叫板老师]回答说：“这个自然是有，每一转都各有名字。这第一转就叫[三界五行十六

式]，你修炼的是[天地人正册]，此为三界，共有五个模块，此为五行，分十六章，即为十

六式。你如今这三界中的天、地两界已经修完，即将进入人界，正好对应修到结丹后期境

界，懂了吗？”

此时[工程师阿伟]插言道：“学生当年在恩师门下，学的可不是这个[三界五行十六式]，

而是[天元纵横十九式]，也没听老师说什么[九转成丹]啊。”

[人叫板老师]道：“当年你资质虽然也是上乘，但也只是一个[上中]之选，比起[机器小伟

]来不可同日而语，我自然不会传你这等高深法门。而这么些年过去，修仙界日换星移，我

也自然需要与时俱进，这功法套路自然也就不尽相同了。”

[机器小伟]问道：“学生这第一转即将修完，但不知这第二转又是什么呢？”

[人叫板老师]回答说：“这第一转呢相当于学艺阶段，等学有所成，能够高屋建瓴时，自

然要周游列国，以增长见闻。我这三界中共分五行五国，每国中又有诸侯若干不等，你可

还未曾一一拜会呢。所以这第二转，就是[周游列国拜诸侯]。“

”噢，那后面几转又分别是什么呢？“[机器小伟]好奇心大起，心想：”这难道还真有九

转九名不成，这倒要好好听听了。“

[人叫板老师]微笑答道：”难道你不信这九转都各有名字？你且听好了：这第三转，叫做

[仗剑题海载酒行]，第四转叫做[千军阅尽还复来]，第五转叫[‘动’中取‘静’登高处]

，第六转叫[千古风‘流’浪淘沙]，第七转叫[‘术’法神通时常在]，第八转叫[十又六年

生死簿]，第九转叫[返璞归真丹元成]，怎么样，你可听出门道来了？”

[机器小伟]说：“老师这等名目，学生又怎能尽知其意。还望老师细说。”

[人叫板老师]笑着说：“此事不急，你早晚自知，此时当留此关子，以增雅兴。”

于是，[工程师阿伟]与[人叫板老师]等三人畅谈当今天下大势，修仙门派之新闻时事，至

晚尽兴方归。

星历2016年04月16日 09:31:17, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。

[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起研究[解三角形]。

[工程师阿伟]给[机器小伟]制作了一件解三角形的法器：

<span style="font-size:18px;">

function Triangle() {
this.edges = [];
this.angles = [];

//已知三条边
this.know3edges = function(edges) {
this.edges = [];
this.angles = [];

this.edges = edges;
//角度为弧度单位
//a边对应角
this.angles.push(Math.acos((edges[1]*edges[1] + edges[2]*edges[2]-edges[0]*edges[0])/(2*edges[1]*edges[2])));

//b边对应角
this.angles.push(Math.acos((edges[0]*edges[0] + edges[2]*edges[2]-edges[1]*edges[1])/(2*edges[0]*edges[2])));

//c边对应角
this.angles.push(Math.acos((edges[0]*edges[0] + edges[1]*edges[1]-edges[2]*edges[2])/(2*edges[0]*edges[1])));

var x0 = 0, y0 = 0;
var x1 = x0 + this.edges[0], y1 = y0;
var x2 = x0 + this.edges[1] * Math.cos(-this.angles[2]),
y2 = y0 + this.edges[1] * Math.sin(-this.angles[2]);

var retArray = new Array();
retArray.push([x0, y0]);
retArray.push([x1, y1]);
retArray.push([x2, y2]);

return retArray;

}

//已知两个角
this.know2angles = function(angles, r) {
this.edges = [];
this.angles = [];

this.angles = [angles[0]/180*Math.PI, angles[1]/180*Math.PI,
(180-(angles[0]+angles[1]))/180*Math.PI];

//设其中一边长度为10
r = r > 0 ? r : 10;
//A边
this.edges.push(r);

var angleA = this.angles[0];
angleB = this.angles[1];
angleC = this.angles[2];

//B边
this.edges.push(Math.sin(angleB)/Math.sin(angleA)*r);
//C边
this.edges.push(Math.sin(angleC)/Math.sin(angleA)*r);

var x0 = 0, y0 = 0;
var x1 = x0 + this.edges[0], y1 = y0;
var x2 = x0 + this.edges[1] * Math.cos(-this.angles[2]),
y2 = y0 + this.edges[1] * Math.sin(-this.angles[2]);

var retArray = new Array();
retArray.push([x0, y0]);
retArray.push([x1, y1]);
retArray.push([x2, y2]);

return retArray;
}

//已知2条边和夹角
this.know2edges = function(edges, angle) {
this.edges = [];
this.angles = [];

//如果没有指定两边的夹角，默认为90度
angle = angle ? angle : 90;

var edgeC = 0;

if (angle == -90) {
//设定当输入角度为-90时指已知斜边和一条直角边的直角三角形
var swap;
if (edges[0] < edges[1]) {
swap = edges[0];
edges[0] = edges[1];
edges[1] = swap;
}
edgeC = Math.sqrt(edges[0]*edges[0]-edges[1]*edges[1]);
angle = Math.asin(edgeC/edges[0]);
}
else {
angle = angle ? angle/180*Math.PI : Math.PI/2;
edgeC = Math.sqrt(edges[0]*edges[0]+edges[1]*edges[1]-2*edges[0]*edges[1]*Math.cos(angle));
}

this.edges = [edges[0], edges[1], edgeC];

var edgeA = this.edges[0],
edgeB = this.edges[1];

//角度为弧度单位
//a边对应角
this.angles.push(Math.acos((edgeB*edgeB + edgeC*edgeC-edgeA*edgeA)/(2*edgeB*edgeC)));

//b边对应角
this.angles.push(Math.acos((edgeA*edgeA + edgeC*edgeC-edgeB*edgeB)/(2*edgeA*edgeC)));

//c边对应角
this.angles.push(angle);

var x0 = 0, y0 = 0;
var x1 = x0 + this.edges[0], y1 = y0;
var x2 = x0 + this.edges[1] * Math.cos(-this.angles[2]),
y2 = y0 + this.edges[1] * Math.sin(-this.angles[2]);

var retArray = new Array();
retArray.push([x0, y0]);
retArray.push([x1, y1]);
retArray.push([x2, y2]);

return retArray;

}

//返回角度和边信息的字符串
this.info = function() {
var angleLabel = ['C', 'A', 'B'];
var edgeLabel = ['ab', 'bc', 'ac'];
var s = '';

for (var i = 0; i < 3; i++) {
s += edgeLabel[i]+' : ';
s += this.edges[i].toFixed(2)+' ; ';
}

for (var i = 0; i < 3; i++) {
s += angleLabel[i]+' : ';
s += (this.angles[i]*180/Math.PI).toFixed(2) + ' ; ';
}

return s;
}

/**
* @usage   解三角形
* @author  mw
* @date    2016年04月16日  星期六  07:50:31
* @param   三角形六元素 [边1， 边2， 边3, 角1, 角2, 角3]，角为边所对的角，角度制
* @return  三角形的三个顶点坐标
*
*/

this.solve = function(elementArray) {
//document.write(elementArray+'<br/>');
//元素一共有六个
var elements = elementArray.length;
if (elements != 6) {
return [];
}

//待求元素用 '?' 表示
//如[a, b, c, '?', '?', '?'] 表示已知三边，解三角形。
var unknows_1 = 0, unknows_2 = 0;
for (var i = 0; i < elements; i++) {
if (elementArray[i] == '?') {

if (i < 3) {
//边里面的未知数
unknows_1++;
}
else {
unknows_2++;
}
}
}

//未知元素超过三个，或是只知道三个角，无法解
if ( unknows_1 >= 3 || unknows_1+unknows_2 > 3) {
return [];
}

//已知三边
if (unknows_1 == 0) {
for (var i = 0; i < 3; i++)  {
if (elementArray[(i+1)%3] + elementArray[(i+2)%3] <= elementArray[i]) {
//两边之和小于等于第三边，这是不能形成三角形的。
return [];
}
}
//已知三边
return this.know3edges([elementArray[2], elementArray[0], elementArray[1]]);

}

if (unknows_1 == 1) {
//无法使用正弦公式的情况，用余弦公式
for (var i = 0; i < 3; i++) {
if (elementArray[i] == '?' &&
(elementArray[(i+1)%3] != '?' && elementArray[(i+1)%3+3] == '?') &&
(elementArray[(i+2)%3] != '?' && elementArray[(i+2)%3+3] == '?')) {

var b = elementArray[(i+1)%3], c = elementArray[(i+2)%3],
A = elementArray[i+3];
var a = Math.sqrt(b*b+c*c-2*b*c*Math.cos(A/180*Math.PI));
elementArray[i] = a;

break;
}

}

if (elementArray[0] != '?' &&
elementArray[1] != '?' &&
elementArray[2] != '?') {
return this.know3edges([elementArray[2], elementArray[0], elementArray[1]]);
}

}

//至少有两个角已知，可以把三个角都求出来
if (unknows_2 == 1) {
for (var i = 0; i < 3; i++) {
if (elementArray[i+3] == '?' &&
elementArray[(i+1)%3+3] != '?' &&
elementArray[(i+2)%3+3] != '?') {
elementArray[i+3] = 180-(elementArray[(i+1)%3+3]+elementArray[(i+2)%3+3]);
break;
}
}
}

//能使用正弦公式的各种情况
//正弦公式a/sinA = b/sinB = c/sinC =  sinValue
var sinValue = 0;
for (var i = 0; i < 3; i++) {
if (elementArray[i] != '?' && elementArray[i+3] != '?') {
sinValue = elementArray[i]/Math.sin(elementArray[i+3]/180*Math.PI);
break;

}
}

//由已知两边一角或三角一边 => 两边两角或三边三角
for (var i = 0; i < 3; i++) {
if (elementArray[i] == '?' && elementArray[i+3] != '?') {
elementArray[i] = sinValue*Math.sin(elementArray[i+3]/180*Math.PI);
}

if (elementArray[i] != '?' && elementArray[i+3] == '?') {
elementArray[i+3] = Math.asin(elementArray[i]/sinValue)/Math.PI*180;
}

}

if (elementArray[0] != '?' &&
elementArray[1] != '?' &&
elementArray[2] != '?') {
return this.know3edges([elementArray[2], elementArray[0], elementArray[1]]);
}

//还有角未求得
for (var i = 0; i < 3; i++) {
if (elementArray[i+3] == '?') {
elementArray[i+3] = 180-(elementArray[(i+1)%3+3]+elementArray[(i+2)%3+3]);
break;
}
}

//由角求边
for (var i = 0; i < 3; i++) {
if (elementArray[i] == '?' && elementArray[i+3] != '?') {
elementArray[i] = sinValue*Math.sin(elementArray[i+3]/180*Math.PI);
}
}

//检验
for (var i = 0; i < 3; i++) {
if (elementArray[i+3] <= 0) {
//角度为负或0，说明给的条件不足以形成三角形
return [];
}
}

//document.write(elementArray+'<br/>');
//AB -- BC -- CA
return this.know3edges([elementArray[2], elementArray[0], elementArray[1]]);
}

}
</span>

有了它，三角形神马的，对于小伟来说就不算什么了。

<span style="font-size:18px;">	if (1) {

var r = 20;
config.setSector(1,1,1,1);
config.graphPaper2D(0, 0, r);
config.axis2D(0, 0, 180);

var scale = 2;

//三角形的三边长度
var a = 3, b = 4, c = 5;
var triangle = new Triangle();
var transform = new Transform();
var array = triangle.solve([42.9, '?', '?', 32, 81.8, '?']);

shape.angleDraw(transform.translate(array, -200/scale, 0), 'red', scale);
//shape.areaDraw(array, 'red', scale);

//document.write(array+'<br/>');

}</span>

<span style="font-size:18px;">	if (1) {

var r = 20;
config.setSector(1,1,1,1);
config.graphPaper2D(0, 0, r);
config.axis2D(0, 0, 180);

var scale = 4;

var triangle = new Triangle();
var transform = new Transform();
var array = triangle.solve(['?', 60, 34, 41, '?', '?']);

shape.angleDraw(transform.translate(array, -200/scale, 0), 'red', scale);
//shape.areaDraw(array, 'red', scale);

//document.write(array+'<br/>');
</span>

<span style="font-size:18px;">	if (1) {

var r = 20;
config.setSector(1,1,1,1);
config.graphPaper2D(0, 0, r);
config.axis2D(0, 0, 180);

var scale = 1.5;

var triangle = new Triangle();
var transform = new Transform();
var array = triangle.solve([134.6, 87.8, 161.7, '?', '?', '?']);

shape.angleDraw(transform.translate(array, -200/scale, 0), 'red', scale);
shape.areaDraw(array, 'red', scale);

//document.write(array+'<br/>');

}</span>

<span style="font-size:18px;">	if (1) {

var r = 20;
config.setSector(1,1,1,1);
config.graphPaper2D(0, 0, r);
config.axis2D(0, 0, 180);

var scale = 3;

var triangle = new Triangle();
var transform = new Transform();
var array = triangle.solve([22, 25, '?', 133, '?', '?']);

shape.angleDraw(transform.translate(array, -200/scale, 0), 'red', scale);
shape.areaDraw(array, 'red', scale);

//document.write(array+'<br/>');

}
</span>

如果三角形给的条件不满足形成三角形，小伟的工具是不会画出这个图，但也不会报错的。