完全背包问题：优化之路

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完全背包问题

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有n个重量和价值分别为wi，vi的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，每种物品可以挑选多件，求所有挑选方案中价值总和的最大值。

与01背包大同小异，只是现在每件物品可以选择任意多件了，那么每个物体就需要多次考虑，既然要多次考虑，那么就需要一个新参数控制每次考虑的情况。

那么看看这次的情况吧，已经不能按照01背包那样简单的动规了，但是有一点很清楚，我们可以按照01背包的动规思想：限定重量，求在该限定重量下可以得到的最大价值。

这次的规律也不难，只需要分两种情况：

①：没有可挑选的物品种类时，直接return 0；

②：如果可以挑选这种物品，就把挑选的次数枚举出来并求最大值就好了；

这里有个我没有列出的条件是重量不能超过W，所以每次挑选时，都要判断这个物品加上后总重量会不会超过W，如果超过W，那就跳过这种情况，并且这个物品就不需要再加更多次了，因为再加依然会超过W。由于每次都要判断重量是否超过W，所以我们在01背包的基础上再加一层循环，判断总重量是否超过W就好了。

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define dp(M,N,length)  dp[(M)*(length+1)+(N)]

static int rec(int *, int *, int *, int, int);

static int max(int, int);

int main()
{
int n, W;
printf("Please input n & W : \n");
scanf("%d %d",&n,&W);
int sdp = (n+1) * (W+1);
int * w = (int *)malloc(n * sizeof(int));
int * v = (int *)malloc(n * sizeof(int));
int * dp = (int *)malloc(sdp * sizeof(int));
for (int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
}
memset(dp,0,sdp * sizeof(int));
printf("%d\n",rec(w,v,dp,n,W));
return 0;
}

int rec(w,v,dp,n,W)
int * w, * v;
int * dp;
int n, W;
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j <= W; j++)
{
for (int k = 0; k*w[i] <= j; k++)
{
dp(i+1,j,W) = max(dp(i+1,j,W),dp(i,j-k*w[i],W)+k*v[i]);
}
}
}
return dp(n,W,W);
}

int max(int i, int j)
{
if (i > j)
return i;
else
return j;
}

这样，我们就通过一个三重循环实现了完全背包问题。由于k循环的最坏可能是从0循环到W，所以这个算法的时间复杂度为O(n*W*W)，然而，这样并不够好。

有心的朋友可以自己根据流程画张表看看，认真分析的话不难发现这个算法中有很多多余的计算。

在dp[i][j]中选择k个情况，和在dp[i][j-w[i]]中选择k-1个的情况是相同的。

那么我们注意一下dp[i][j]与dp[i][j-w[i]]的关系，可以发现在求dp[i][j]的值时，只需要直接从dp[i][j-w[i]]和dp[i-1][j]两个地方取值，并找出较大的那个就行了。

这样在计算dp[i][j]时就不需要用到k循环了，下面给出改进的算法。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define dp(M,N,length)  dp[(M)*(length+1)+(N)]

static int rec(int *, int *, int *, int, int);

static int max(int, int);

int main()
{
int n, W;
printf("Please input n & W : \n");
scanf("%d %d",&n,&W);
int sdp = (n+1) * (W);
int * w = (int *)malloc(n * sizeof(int));
int * v = (int *)malloc(n * sizeof(int));
int * dp = (int *)malloc(sdp * sizeof(int));
for (int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
}
memset(dp,0,sdp * sizeof(int));
printf("%d\n",rec(w,v,dp,n,W));
return 0;
}

int rec(w,v,dp,n,W)
int * w, * v;
int * dp;
int n, W;
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j <= W; j++)
{
if (j < w[i])
dp(i+1,j,W) = dp(i,j,W);
else
dp(i+1,j,W) = max(dp(i,j,W),dp(i+1,j-w[i],W)+v[i]);
}
}
return dp(n,W,W);
}

int max(int i, int j)
{
if (i > j)
return i;
else
return j;
}

这样就将时间复杂度降低到了O(n*W)。

算法就是这样，当你有一丁点灵感的时候，你就要尽量的去将这一丁点灵感放大，不断的合情推理并大胆猜测，这样才有可能设计出更好更快的算法。

我是算法吹，以后会给大家带来更多精彩的算法。