完全背包问题:优化之路
2016-04-15 23:01
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那么看看这次的情况吧,已经不能按照01背包那样简单的动规了,但是有一点很清楚,我们可以按照01背包的动规思想:限定重量,求在该限定重量下可以得到的最大价值。
这次的规律也不难,只需要分两种情况:
①:没有可挑选的物品种类时,直接return 0;
②:如果可以挑选这种物品,就把挑选的次数枚举出来并求最大值就好了;
这里有个我没有列出的条件是重量不能超过W,所以每次挑选时,都要判断这个物品加上后总重量会不会超过W,如果超过W,那就跳过这种情况,并且这个物品就不需要再加更多次了,因为再加依然会超过W。由于每次都要判断重量是否超过W,所以我们在01背包的基础上再加一层循环,判断总重量是否超过W就好了。
代码如下:
这样,我们就通过一个三重循环实现了完全背包问题。由于k循环的最坏可能是从0循环到W,所以这个算法的时间复杂度为O(n*W*W),然而,这样并不够好。
有心的朋友可以自己根据流程画张表看看,认真分析的话不难发现这个算法中有很多多余的计算。
在dp[i][j]中选择k个情况,和在dp[i][j-w[i]]中选择k-1个的情况是相同的。
那么我们注意一下dp[i][j]与dp[i][j-w[i]]的关系,可以发现在求dp[i][j]的值时,只需要直接从dp[i][j-w[i]]和dp[i-1][j]两个地方取值,并找出较大的那个就行了。
这样在计算dp[i][j]时就不需要用到k循环了,下面给出改进的算法。
这样就将时间复杂度降低到了O(n*W)。
算法就是这样,当你有一丁点灵感的时候,你就要尽量的去将这一丁点灵感放大,不断的合情推理并大胆猜测,这样才有可能设计出更好更快的算法。
我是算法吹,以后会给大家带来更多精彩的算法。
完全背包问题
**有n个重量和价值分别为wi,vi的物品,从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品,每种物品可以挑选多件,求所有挑选方案中价值总和的最大值。
与01背包大同小异,只是现在每件物品可以选择任意多件了,那么每个物体就需要多次考虑,既然要多次考虑,那么就需要一个新参数控制每次考虑的情况。那么看看这次的情况吧,已经不能按照01背包那样简单的动规了,但是有一点很清楚,我们可以按照01背包的动规思想:限定重量,求在该限定重量下可以得到的最大价值。
这次的规律也不难,只需要分两种情况:
①:没有可挑选的物品种类时,直接return 0;
②:如果可以挑选这种物品,就把挑选的次数枚举出来并求最大值就好了;
这里有个我没有列出的条件是重量不能超过W,所以每次挑选时,都要判断这个物品加上后总重量会不会超过W,如果超过W,那就跳过这种情况,并且这个物品就不需要再加更多次了,因为再加依然会超过W。由于每次都要判断重量是否超过W,所以我们在01背包的基础上再加一层循环,判断总重量是否超过W就好了。
代码如下:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define dp(M,N,length) dp[(M)*(length+1)+(N)] static int rec(int *, int *, int *, int, int); static int max(int, int); int main() { int n, W; printf("Please input n & W : \n"); scanf("%d %d",&n,&W); int sdp = (n+1) * (W+1); int * w = (int *)malloc(n * sizeof(int)); int * v = (int *)malloc(n * sizeof(int)); int * dp = (int *)malloc(sdp * sizeof(int)); for (int i = 0; i < n; i++) { scanf("%d %d",&w[i],&v[i]); } memset(dp,0,sdp * sizeof(int)); printf("%d\n",rec(w,v,dp,n,W)); return 0; } int rec(w,v,dp,n,W) int * w, * v; int * dp; int n, W; { for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j <= W; j++) { for (int k = 0; k*w[i] <= j; k++) { dp(i+1,j,W) = max(dp(i+1,j,W),dp(i,j-k*w[i],W)+k*v[i]); } } } return dp(n,W,W); } int max(int i, int j) { if (i > j) return i; else return j; }
这样,我们就通过一个三重循环实现了完全背包问题。由于k循环的最坏可能是从0循环到W,所以这个算法的时间复杂度为O(n*W*W),然而,这样并不够好。
有心的朋友可以自己根据流程画张表看看,认真分析的话不难发现这个算法中有很多多余的计算。
在dp[i][j]中选择k个情况,和在dp[i][j-w[i]]中选择k-1个的情况是相同的。
那么我们注意一下dp[i][j]与dp[i][j-w[i]]的关系,可以发现在求dp[i][j]的值时,只需要直接从dp[i][j-w[i]]和dp[i-1][j]两个地方取值,并找出较大的那个就行了。
这样在计算dp[i][j]时就不需要用到k循环了,下面给出改进的算法。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define dp(M,N,length) dp[(M)*(length+1)+(N)] static int rec(int *, int *, int *, int, int); static int max(int, int); int main() { int n, W; printf("Please input n & W : \n"); scanf("%d %d",&n,&W); int sdp = (n+1) * (W); int * w = (int *)malloc(n * sizeof(int)); int * v = (int *)malloc(n * sizeof(int)); int * dp = (int *)malloc(sdp * sizeof(int)); for (int i = 0; i < n; i++) { scanf("%d %d",&w[i],&v[i]); } memset(dp,0,sdp * sizeof(int)); printf("%d\n",rec(w,v,dp,n,W)); return 0; } int rec(w,v,dp,n,W) int * w, * v; int * dp; int n, W; { for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j <= W; j++) { if (j < w[i]) dp(i+1,j,W) = dp(i,j,W); else dp(i+1,j,W) = max(dp(i,j,W),dp(i+1,j-w[i],W)+v[i]); } } return dp(n,W,W); } int max(int i, int j) { if (i > j) return i; else return j; }
这样就将时间复杂度降低到了O(n*W)。
算法就是这样,当你有一丁点灵感的时候,你就要尽量的去将这一丁点灵感放大,不断的合情推理并大胆猜测,这样才有可能设计出更好更快的算法。
我是算法吹,以后会给大家带来更多精彩的算法。
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