算法导论 练习 2.3-3

题目：

数学归纳法证明：当nn是22的整数幂时，递归式

T(n)=⎧⎩⎨22T(n/2)+n if n=2 if n=2k,k>1T(n)=\begin{cases}
2& \text{ if } n=2 \\\\
2T(n/2)+n& \text{ if } n=2^{k},k>1
\end{cases}

的解为：T(n)=nlgnT(n)=nlgn

证明：

假设：T(n)=nlgnT(n)=nlgn 成立

当 n=2n=2 时，T(2)=2∗lg2=2T(2)=2*lg2=2 成立

当 n=2kn=2^{k} 时：

T(2n)=2T(n)+2n=2nlgn+2n=2n(1+lgn)=2n(lg2+lgn)=2nlg2nT(2n) = 2T(n)+2n = 2nlgn+2n= 2n(1+lgn)=2n(lg2+lgn)=2nlg2n

证毕