初等数论_6 2016.4.15
2016-04-15 11:56
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四、欧拉函数
1、定义在数论中,对于正整数n,欧拉函数就是小于n的数中与n互质的数的数目。
此函数以其首名研究者欧拉命名(Ruler’so totient function),它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。
例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。
φ(24)=8,因为1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23均和 24 互质。
通式:
其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。
φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1)。
注意:
每种质因数只一个。
比如12=2*2*3那么φ(12)=12 * (1-1/2)* (1-1/3)=4
2、基本性质
①若N是质数p的k次幂,φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟N互质
②当N是质数时,φ(N) = N-1
③除了N=2,φ(N)都是偶数
④小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2
⑤欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(m*n)=φ(m)*φ(n)
⑥当N为奇数时,φ(2*N)=φ(N)
HDU 2824 The Euler function
解题思路:
筛选法打欧拉函数表
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long LL; const int maxn = 3000000 + 10; int Euler[maxn]; void Init(void); int main() { Init(); int a, b; while (scanf("%d%d", &a, &b) != EOF) { LL ans = 0; for (int i=a; i<=b; ++i) { ans += Euler[i]; } printf("%I64d\n", ans); } return 0; } void Init(void) { for (int i=1; i<maxn; ++i) { Euler[i] = i; } for (int i=2; i<maxn; ++i) { if (Euler[i] == i) { for (int j=i; j<maxn; j+=i) { Euler[j] = Euler[j] / i * (i-1); } } } }
HDU 2588 GCD
题意:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and Gcd(X,N)>=M.
解题思路:
设ai为N的大于等于M的约数
那么答案就是n/ai的欧拉函数之和
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; int Euler(int n); int main() { // freopen("in.txt", "r", stdin); int T; scanf("%d", &T); int N, M; while (T--) { scanf("%d%d", &N, &M); int ans = 0; for (int i=1; i*i<=N; ++i) { if (N%i == 0) { if (i >= M) { ans += Euler(N/i); } if (N/i != i && N/i >= M) { ans += Euler(i); } } } printf("%d\n", ans); } return 0; } int Euler(int n) { int ret = n; for (int i=2; i*i<=n; ++i) { if (n%i == 0) { ret = ret/i*(i-1); while (n%i == 0) { n /= i; } } } if (n != 1) { ret = ret/n*(n-1); } return ret; }
HDU 4983 Goffi and GCD
转自http://blog.csdn.net/yanghuaqings/article/details/47167875
题意:
给出一组n和k,求解满足公式:gcd(n-a,n)*gcd(n-b,n)=n^k的(a,b)的个数
结果对(1e9+7)取模
解题思路:
Gcd(x, n) = Gcd(n-x, n)
Gcd(n-a,n)*Gcd(n-b,n)=n^k可以化为Gcd(a,n)*Gcd(b,n)=n^k
gcd(a,n)<=n,gcd(b,n)<=n
所以gcd(a,n)*gcd(b,n)<=n^2
当n=1时,只有1解
当k>2时,无解
当k=2时,只有a=b=n时,Gcd(a,n)=n,Gcd(b,n)=n,Gcd(a,n)*gcd(b,n)=n^2,即只有1解
当k=1时,就是求Gcd(a,n)*Gcd(b,n)=n
如果Gcd(a,n)=x,则Gcd(b,n)=n/x,这里只要枚举x,求n/x即可
x是a和n的最大公约数,那么x就是n的因数,因此枚举n的因数就可以了
对于每一个x可能会有多个a(1<=a<=n)存在,使得Gcd(a,n)=x,假设存在ma个
那么对于每一个n/x,同样会有多个b(1<=b<=n)存在,使得Gcd(b,n)=n/x,假设存在mb个
ma,mb可以用欧拉函数求解
那么对于一个x,如果x*x!=n,那么就存在2*ma*mb
对结果
如果x*x==n,那么就存在ma*mb对结果。
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long LL; int mod = 1e9 + 7; LL Euler(int n); int main() { // freopen("in.txt", "r", stdin); int n, k; while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) { if (n == 1) { printf("1\n"); } else if (k > 2) { printf("0\n"); } else if (k == 2) { printf("1\n"); } else { LL ans = 0; for (int i=1; i*i<=n; ++i) { if (n%i == 0) { if (i*i == n) { ans += Euler(n/i) * Euler(i); } else { ans += 2 * Euler(n/i) * Euler(i); } ans %= mod; } } cout<<ans<<endl; } } return 0; } LL Euler(int n) { LL ret = n; for (int i=2; i*i<=n; ++i) { if (n%i == 0) { ret = ret/i*(i-1); while (n%i == 0) { n /= i; } } } if (n != 1) { ret = ret/n*(n-1); } return ret%mod; }
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