DP

第一次学习动态规划算法，借这篇文章总结一下

矩阵取数问题

一个N*N矩阵中有不同的正整数，经过这个格子，就能获得相应价值的奖励，从左上走到右下，只能向下向右走，求能够获得的最大价值。
例如：3X3的方格。
1 3 3
2 1 3
2 2 1
能够获得的最大价值为：11。
输入
第1行：N，N为矩阵的大小。(2 <= N <= 500)
第2 - N + 1行：每行N个数，中间用空格隔开，对应格子中奖励的价值。（1 <= N[i] <= 10000)
输出
输出能够获得的最大价值。

假设经过某一点N1的路径为最大值的路径，可以得到：到达N1点的最大值的路径是N1点的左侧的点N2或N1上面的点N3中值较大的点加上N1点的值
即f(N1) = max(f(N2), f(N3)) + N1。

如果要到一条最大值的路径，我们可以从左上角第一个格子开始把到达每一点最大值给求出来，这样我们可以得到到达矩阵上每一点的最大值，右下角的最大值也就是它上方或左方的较大的点加上当前点的值。

可以得到代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int max(int x, int y) {
return x > y ? x : y;
}

int main() {
int N;
scanf("%d", &N);
int **arr;
int **res;
arr = (int **)malloc(N* sizeof(int *));
for (int i = 0; i < N; i++) {
arr[i] = (int*)malloc(N* sizeof(int));
}
res = (int **)malloc((N+1)* sizeof(int *));
for (int i = 0; i < N+1; i++) {
res[i] = (int*)malloc((N+1)* sizeof(int));
}

for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
scanf("%d", &arr[i][j]);
}
}
for (int i = 0; i < N + 1; i++) {
res[0][i] = 0;
res[i][0] = 0;
}
for (int i = 1; i < N + 1; i++) {
for (int j = 1; j < N + 1; j++) {
res[i][j] = max(res[i - 1][j], res[i][j - 1]) + arr[i-1][j-1];
}
}

printf("%d",res

);
return 0;
}

从这道题目中可以得到DP中两个概念：状态、状态转移方程。在上面这道题目中的状态就是到达某点的最大值，而状态转移方程也就是f(N1) = max(f(N2), f(N3)) + N1。

最大字段和

给出一个整数数组a(正负数都有)，如何找出一个连续子数组（可以一个都不取，那么结果为0），使得其中的和最大？当所给的整数均为负数时和为0。
例如：-2,11,-4,13,-5,-2，和最大的子段为：11,-4,13。和为20。

解决这个问题可以用多种方法：枚举、分治、动态规划。下面用动态规划解决这道题

对于数组中的a[i]，我们要求出子段和，要么加上a[i]，要么不加。如果不加a[i]的值的话，也就相当于从i开始。什么时候不加a[i]？当i-1的字段和为负数的时候，也就没有必要去加了。可以得到状态转移方程 f(i) = max(f(i-1)+a[i], a[i]) 把a[i]提出来，得：f(i) = max(f(i-1), 0)+ a[i]

可以得到问题的解

#c过不了oj 改为python -、-
def MaxSubSeq(arr, N):
sum = temp = 0
for i in arr:
if temp > 0:
temp += i
else :
temp = i
if temp > sum :
sum = temp
if sum < 0:
sum = 0
return sum

N = int(input())
arr = []
for i in range(N):
arr.append( int( input()))
print(MaxSubSeq(arr, N))

via:http://www.hawstein.com/posts/dp-novice-to-advanced.html

via:https://www.51nod.com/tutorial/index.html#!tutorialId=1